奇异积分算子及其交换子的理论与应用

来源于复分析和偏微分方程的奇异积分算子理论的建立是现代调和分析诞生的标志，交换子理论是沿 Lipschitz 曲线的 Cauchy 型积分的 L^2 有界性等问题的直接结果，它们在调和分析、复分析和偏微分方程中起着非常重要的作用。我们将在近年来已做工作的基础上, 深入研究带各类积分核的积分算子及其交换子在函数空间上的有界性和紧性特征；探讨在低正则性下交换子的性质以及交换子的某些临界特征；研究在各向异性情形下的类似结果；探讨在非双倍测度下、Heisenberg 群上的奇异积分算子及其交换子的有界性质等。我们期望通过本项目的研究，丰富和完善现有的算子及其交换子理论，并运用交换子理论给出函数空间的某些刻画及交换子理论在偏微分方程解的正则性问题中的应用。该研究项目密切联系着调和分析的核心内容和偏微分方程的理论问题。

奇异积分算子理论的建立是现代调和分析诞生的标志，交换子理论是沿 Lipschitz 曲线的 Cauchy 型积分的 L^2 有界性等问题的直接结果，算子及其交换子有界性、以及函数空间的刻画在调和分析、复分析和偏微分方程中起着非常重要的作用。两年来，课题组在此国家基金的支持下，在已做工作的基础上, 深入研究了Marcinkiewicz积分算子在Hardy-Lorentz空间和加权弱Hardy空间上的有界性，讨论了Littlewood-Paley算子在加权Herz空间的弱有界性，证明了伴随与加权CBMO函数的分数次积分算子交换子在 -中心Morrey 空间上的加权有界性，研究了变形的Hörmander条件下的Calderón-Zygmund算子的加权有界性，以及分数次Hardy算子的交换子在变指数Herz-Morrey空间中的加权有界性等结果。基于Bownik引入并研究的伴随于非常一般离散伸缩群的各向异性Hardy空间的理论，我们研究了各向异性的加权Herz空间的分解，讨论了各向异性的加权Hardy空间的分子刻画，及其上的奇异积分算子的有界性问题，得到了满意的结果。我们在非双倍测度下得到了非双倍测度下Calderón-Zygmund算子交换子以及Hardy-Littlewood分数次极大算子在Morrey-Herz空间上的有界性，并且得到了非双倍测度下Marcinkiewic积分在Morrey-Herz空间上有界的结果。基于Heisenberg群上的Hausdorff 容量的引进，我们定义了Siegel 上半平面上的分数次Carleson测度和帐篷空间等概念，讨论了分数次Carleson测度的几个等价刻画和对偶空间，得到了帐篷空间的原子分解，讨论了它的对偶空间等。此外，引进了区域上分子的概念，利用区域上Calderón型表示定理，得到了区域上更宽泛的Besov空间的分子分解；作为应用，证明了Calderón-Zygmund算子在这类Besov空间上的有界性。通过本课题的研究，丰富和完善现有的算子及其交换子理论，并给出某些函数空间的刻画，达到了该研究项目的预期目标。