齐型空间上抽象Hardy空间实变理论及其应用

Hardy space is one of the important contents in analysis. It is widely used in harmonic analysis, functional analysis and complex analysis. Abstract Hardy spaces retain the main properties of classical Hardy spaces. Moreover, we can establish some important theories in this kind of spaces, such as real variable theory and the theory of boundedness of operator. Therefore, it is very important to study this kind of spaces. This project intends to conduct in-depth research of abstract Hardy spaces under the background of homogeneous spaces. Firstly, using the method of density discussion, the double property of measure and a new spatial ring-dividing method, we obtain the atomic decomposition and molecular decomposition of variable exponent abstract Hardy spaces, and the atomic decomposition of multi-parameter abstract Hardy spaces. Secondly, via the atomic decomposition and the molecular decomposition, we establish the boundedness of operators of these spaces and the dual spaces of variable exponent abstract Hardy spaces. Finally, using the properties of weight and the reverse Hölder inequality, we establish the weighted theory of these spaces.

Hardy空间是分析学的重要研究内容之一,在调和分析、泛函分析、复分析等领域中有广泛的应用.抽象Hardy空间不仅保留了经典Hardy空间的主要性质,而且在这类空间上可以建立实变理论、算子有界性理论等重要理论.因此,研究此类空间有很重要的意义.本项目拟在齐型空间背景下,对抽象Hardy空间进行深入研究.首先,利用稠密性讨论的方法及测度的双倍性质,结合一种新的空间分环方法,给出变指标抽象Hardy空间的原子分解、分子分解及多参数抽象Hardy空间的原子分解；其次,借助原子分解、分子分解,建立这些空间上的算子有界性理论及变指标抽象Hardy空间上的对偶空间理论；最后,借助权函数性质及逆Hölder不等式建立这些空间上的加权理论.

Hardy空间是分析学的重要研究内容之一,在调和分析、泛函分析、复分析和算子理论等领域中有广泛的应用.抽象Hardy空间不仅保留了经典Hardy空间的主要性质,而且在这类空间上可以建立实变理论、算子有界性理论等重要理论.首先,本项目建立了抽象Hardy空间的原子特征和分子特征,引入了原子抽象Hardy空间和分子抽象Hardy空间,并将抽象Hardy空间与其他一些Hardy空间作了比较,得到了它们之间的关系；通过利用抽象Hardy空间函数理论、齐型空间上测度的双倍性质及Hölder不等式等,给出了L^2有界的次线性算子从抽象Hardy空间到空间L^p(0<p<1)有界的条件是算子满足某种“off-diagonal”条件,并举例给出了相应的算子.其次,引入了齐型群上的变指标抽象原子Hardy空间及分子Hardy空间,证明了其上的嵌入定理及算子的连续性定理,刻画了其对偶空间,进而通过加权Hardy空间,利用逆Hölder不等式和权函数的性质等,得到了一类算子的有界性条件.接着,引入了齐型空间上的多参数抽象Hardy空间,借助原子特征及齐型空间上测度的双倍性质,证明了次线性算子在其上的连续性定理；作为应用,证明了双线性算子在其上的有界性,并举例给出了相应算子.最后,引入了Riemannian流形上的抽象Hardy-Sobolev空间,建立了其原子特征；借助原子特征,得到了线性算子从抽象Hardy-Sobolev空间到空间L^s(s>1)有界的条件,并给出了一类特殊的Hardy-Sobolev空间.上述成果对研究Hardy空间和抽象Hardy空间理论及算子有界性理论有重要的价值,为研究调和分析与泛函分析中的相关分析问题提供了工作空间与方法.