相关于高阶微分算子的函数空间实变理论及其应用

Many important problems arising in Mathematics and Physics can be reduced to the boundedness of some operators on the corresponding function spaces. To characterize these boundedness, one usually need to study the real variable theory of these function spaces. The applicant and his collarorators studied the real variable theory of the Hardy spaces associated with a series of second order differential operators, and obtained part results on some higher order differential operators. As a continuation and depth of these topics,this subject is devoted to complement and develop the real variable theory of function spaces associated with higher order differential operators. Moreover, this subject will intend to study the real variable theories of the Hardy-Sobolev spaces associated with higher order homogeneous and inhomogeneous elliptic operators, the Hardy and the Hardy-Sobolev spaces associated with higher order mixed order elliptic operators, consider the boundedness of the associated Riesz transform on these spaces and the corresponding Riesz transform characterization, introduce and study the real variable theory of the Besov spaces and Triebel-Lizorkin spaces associated with higher order differential operators and the boundedness of the associated Riesz transforms. Finally, this subject will apply all the obtained results to the study of the regularity properties of the associated differential equations.

数学和物理中的很多问题往往可以归结为一些算子在相应函数空间中的有界性, 而为得到这些算子的有界性则需要对相应函数空间的实变理论做更深入的研究. 申请人与合作者已合作研究了一系列与各种二阶微分算子相关函数空间的实变理论以及相应Riesz变换的有界性, 并对部分高阶微分算子也得到了一些结果. 作为这些研究的继续和深入, 本课题拟进一步完善和发展与高阶微分算子相关函数空间的实变理论, 考虑与高阶齐次和非齐次椭圆算子相关的Hardy-Sobolev空间的实变理论, 研究与混合阶高阶椭圆微分算子相关的Hardy空间与Hardy-Sobolev空间的实变理论, 考虑相应Riesz变换在这些函数空间上的有界性质, 研究与高阶微分算子相关的Besov空间、Triebel-Lizorkin空间等函数空间的实变理论及其算子有界性, 并将由此得到的实变理论与Riesz变换有界性应用到相关方程解的正则性问题中.

函数空间作为数学诸多领域相关问题的工作空间，其相关的进展一直都是调和分析、PDE以及几何分析等领域中的一个非常重要的研究课题。近年来，与各种微分算子相关的函数空间的实变理论由于其应用范围的广泛性成为这一课题中的一个热点问题。本项目主要研究了三个方面的研究内容：1）与高阶微分算子相关的函数空间实变理论；2）加权帐篷空间实插值刻画；3）Hardy空间及其对偶乘积的双线性分解。具体地，项目建立了与齐次高阶椭圆算子相关的Hardy空间的极大函数刻画，回答了前人文章中对此提出来的一个未解决的问题；引入一类Goldberg意义下的算子型局部Hardy空间；并通过建立加权Tent空间的实插值空间刻画，给出经典Hardy空间端点实插值方面证明中一个修补；同时，项目通过考虑Hardy空间与其对偶乘积的双线性分解问题，给出了经典Musielak-Orlicz-Hardy空间的一个新内蕴结构，这一结构给出了理解Musielak-Orlicz-Hardy空间的一个新的方式。所有这些成果丰富了与算子相关的函数空间实变理论，一些结果在椭圆算子半群理论、交换子有界性、散度旋度引理以及方程解的正则性等一些进一步的问题中也有着重要的应用。