相关于Schrödinger型算子的变指标Hardy空间的实变理论

Many important problems of PDEs and analysis are reduced to study the boundedness of operators on function spaces, and the study of boundedness of operators is closely connected with the real-variable theory of function spaces. By making use of the special forms of Schrödinger type operators and the tools of variable function spaces, this project aims to study the real-variable theory of variable Hardy spaces associated to Schrödinger type operators, including, introducing the variable Hardy spaces associated to Schrödinger type operators and degenerate Schrödinger type operators and the local variable Hardy spaces associated to degenerate Schrödinger type operators, establishing their atomic decomposition characterization, various maximal functions and Riesz transform characterizations, studying the isomorphisms of the above spaces and the classical variable Hardy spaces. As an application, establish the boundedness of operators, including second order Riesz transform, on these spaces.

偏微分方程和分析学中的许多重要问题本质上归结为研究算子在函数空间上的有界性问题,而算子有界性的研究密切联系于函数空间的实变理论.本项目拟在申请人已有的相关于算子的变指标Hardy空间的实变理论及其应用的研究基础上,充分利用Schrödinger型算子特有的微分结构和变指标函数空间的已有研究工具,进一步研究相关于Schrödinger型算子的变指标Hardy空间的实变理论,其中包括引入相关于Schrödinger型算子和退化Schrödinger型算子的变指标Hardy空间以及相关于退化Schrödinger型算子的变指标局部Hardy空间,建立它们的原子分解特征,各种极大函数和Riesz变换特征及对偶空间理论,研究它们与经典变指标Hardy空间的同构性质.作为应用,建立二阶Riesz变换等算子在其上的有界性.

数学和物理学中的许多问题本质上可归结为研究各类算子在相应函数空间上的有界性。因此，构建各类合适的函数空间并研究其实变理论及应用具有重要的理论和应用价值。本项目研究了相关于Schrödinger算子的变指标Hardy空间的实变理论，包括其原子分解特征，Riesz变换的有界性及其与经典变指标Hardy空间的同胚映射刻画。此外，还研究了相关于Schrödinger算子的Littlewood-Paley函数在加权Lebesgue空间上带有最佳常数的有界性，得到了欧氏空间中Reifenberg区域上带有Dirichlet边界条件的退化椭圆方程的弱解在加权变指标Lorentz和Lebesgue空间中的正则性估计。