局部凸空间中复合DC规划的稳定对偶和全对偶问题研究

The aim of this project is to investigate the general composite DC program. In the case when the functions involved are lower semicontinuous, a closedness-type condition in terms of epigraph of conjugate functions is introduced and proved to be sufficient and necessary for the strong duality between a convex composite optimization subproblem and its dual problem. However this closedness-type condition is only sufficient to ensure the strong duality between the original convex composite DC optimization problem and its dual problem. In the case when the lower semicontinuity of the functions involved and the cone monotone increasing outer function are not assumed, we first define the Fenchel-Lagrange duality of primal problem. Some sufficient and necessary conditions of weak duality, strong duality and stable strong duality results are derived by using epigraph and characteristic sets associated with the primal problem and dual problem. Furthermore, Some subdifferential conditions are also given to ensure the stable total duality. Finally, the results obtained are applied to study the classic problem and compared with the known results. The difficulty is increased due to the nonconvexity of primal problem, so this will be a challenging research. Research on composite DC program also promote the development of related areas, such as the areas of engineering design and control. Meanwhile, this project can solve some nonconvex problems, so it is sgnificance in theory.

本项目研究锥凸约束的一般复合DC规划问题。在目标函数和约束函数是下半连续的情况下，利用上图技巧和共轭变换，构造闭型约束规格条件，证明此条件是锥凸约束复合最优化问题强对偶成立的充要条件，同时也是复合差凸最优化问题强对偶成立的充分条件。对于目标函数和约束函数没有下半连续性，复合函数的外函数也不需要是锥单调递增的情况，首先给出原问题的Fenchel-Lagrange对偶问题，利用共轭函数的上图，找到与原问题和对偶问题相关的特征集，构造约束规格条件，保证弱对偶，强对偶和稳定强对偶成立。然后，利用次微分给出稳定全对偶成立的充分条件。最后，应用得到的结果研究一些经典的问题，同已知的结论做比较。由于原问题的非凸性，导致研究的困难相对地增加，所以本项目的研究具有一定的挑战性。复合DC问题的研究，还可以带动相关领域的发展，比如工程设计和控制领域。同时本项目还可以解决一些类型的非凸问题，具有重要的理论意义。

复合DC规划问题在非凸优化领域中占有重要的地位。它广泛的应用在切比雪夫逼近、运输问题、合作博弈、工程设计、最优控制、鲁棒优化等方面。本项目根据项目研究计划进行，对预期研究的问题进行了深入的研究，得到了一些有意义的结果。本项目研究的主要内容和研究成果如下：. (1) 对于锥凸约束系统的一般复合最优化问题，通过一些Fenchel共轭变换和上图，得到了稳定Farkas引理的等价条件，同时得到了稳定对偶成立的充要条件； (2) 对于锥凸系统的复合DC问题，其中所涉及的函数都是下半连续，外函数是K-增的，通过上图技巧，构造了闭型约束规格条件，保证强对偶成立，不过这个仅是充分条件； (3) 针对第二种的不足之处，继续研究更一般的锥凸系统的复合DC问题，其中所涉及的函数不一定是下半连续，外函数也不一定是K-增的。通过共轭函数的上图，构造了充要条件，保证了稳定Fenchel-Lagrange 强对偶成立，同时应用所得结果研究了最小-最大问题和l1罚问题； (4) 对于无穷DC约束系统的复合DC问题，利用上图和锥，引入正则性条件，保证了稳定弱对偶，稳定强对偶，稳定零对偶，全对偶成立。. 本项目的主要成果为研究论文，目前发表SCI研究论文4篇,完成了项目预期的研究 目标和任务。在项目期间，参加了2017年5月第十一届全国数学规划学术会议和6月份的最优化会议。