Banach空间上非线性算子半群与非线性微分包含及其应用

Banach 空间中的（非线性）算子半群及（非线性）微分包含，是泛函分析中的非常活跃并且具有很强应用背景的方向之一，近年来已经被广泛应用于偏微分方程、Volterra方程、非线性发展方程、不变流问题、正解的存在性理论、控制论、最优化及从大型空间飞行器、机器人到细胞增生等诸多问题中，因而引起很多数学工作者的重视。我们主要研究Banach空间上非线性微分包含的解的存在性以及解的渐近行为以及在控制论与最优化等方面的应用。研究非线性算子半群的遍历理论和渐近行为，将其应用于非线性微分包含的解的性质的研究中。

Banach空间上的非线性微分包含是非线性分析理论中非常活跃的一个分支.近几十年来, 随着微分包含理论的日渐成熟及其广泛的实践应用，它已交叉渗透进许多科学领域，例如数学物理上的反应—扩散问题，控制论上的最优化问题，甚至工程问题，经济问题等越来越多的领域中涉及的问题都可以转化为微分包含问题.我们通过综合应用线性算子理论和Banach空间几何理论与非线性分析的方法研究了Banach空间上若干非线性微分包含的解的存在性理论以及在控制学科等方面的应用。我们首次应用零点扰动的方法和构造正则的Hausdorff非紧性测度研究了抽象空间中非局部（脉冲型）微分包含解的存在性。结合Banach空间几何理论和不动点理论，我们讨论了在半群没有紧性甚至等度连续性以及非局部项具备不同拓扑时适度解或积分解的存在性。应用新的方法和技巧研究了半线性非局部微分包含解的存在性理论，这方面的结果改进和推广了很多前人的研究成果，并且已经被很多同行引用。引入新的方法和技巧研究了可控性微分包含解的存在性问题，这方面的工作为进一步的研究打下了良好的基础。通过应用我们自己的一些方法和技巧，研究了非Lipschitzian可逆拓扑算子半群的遍历理论和渐近行为，不动点问题和非扩张压缩的存在性问题，进一步探讨了可逆半群的非扩张的Sunny压缩的充要条件。以广义逆为主要工具, 结合非线性分析、Banach空间几何等学科的思想方法来开展非线性分析与优化控制中某些问题的研究, 这方面的主要工作有：进一步建立和完善了算子广义逆的扰动稳定特征, 特别是给出了稠定闭算子在相对扰动意义下的稳定特征, 给出了广义预解式的存在与表示定理, 给出了线性算子Drazin逆与广义Drazin逆的稳定扰动及其表示定理. 提出了一个新的稳定扰动概念, 系统地研究了Banach空间中有界算子扰动后外逆和内逆具有最简形式的稳定特征, 从而统一和推广了广义逆扰动理论中的许多已知结论. 利用算子秩定理方法和局部精细方法研究了非线性分析中的某些问题, 同时利用广义Lagrange乘子定理研究了一些非正则的约束优化问题,给出了广义正则约束条件的具体判别标准