数值天气预报中可压缩流体的高效保正间断Galerkin方法

The numerically solving of Euler equations with gravitational source term in the domain of numerical weather prediction needs long time evolution, so the computational cost is high. Therefore, how to save the computational time is very important. In addition, the presence of the gravitational source term results in the numerical oscillations and negative numerical results, so it is demanding and challenging for numerical methods. Furthermore, the existing methods are all based on the steady steate solutions with zero velocity and do not consider the positivity-preserving of the density and the pressure, so fail to statsify the practical needs. Recently, the applicant have presented the high order methods maintaining the steady state solutions with zero velocity. In this current project, the applicant will take the compressible Euler equations with gravitational source terms as the research objective, to design one-step discontinuous Galerkin methods, which preserve the moving fluids steady state exactly, keep the denisity and the pressure to be positive, enjoy the time adpative, and have low storage, to adapt the requirement of high efficiency of numerical methods in the numerical weather prediction. Research contents include: (1) how to split the numerical solutons into steady and disturbance parts by means of the splitting algorithm, (2) how to form the positivity-preserving function limiter, which is suitable of the presence ot gravitational source term, (3) how to construct the local time stepping algorithm based on the differential transformation strategy. Research results would provide the domain of numerical weather prediction with theoretical basis and methodology support.

数值天气预报中带有重力源项的欧拉方程的数值计算需要长时间演化，计算成本高，因此节省计算时间成为一个不可避免的问题。此外，重力源项的存在导致数值结果容易出现振荡与负值,这对数值方法提出了极高的要求和挑战。更进一步，现有方法尚未涉及速度非零的动流体定常解、也未考虑保持密度与压力为正，难以适应实际需求。申请人近期建立了保持速度为零的静流体定常解的高精度方法。本项目拟以带有重力源项的欧拉方程为研究对象，旨在建立能够保持动流体定常解、保持密度与压力同时为正、具有时间自适应的、且存储量较小的单步间断Galerkin方法，以更加适应数值天气预报中大气问题对数值方法计算效率要求高的特点。研究内容包括：(1)基于分裂算法将数值解分裂为定常与扰动两部分, (2)构造适合重力源项存在的保正函数限制器，(3)结合微分变换策略建立局部时间步长算法。项目成果将为数值天气预报中可压缩流体计算问题提供理论基础与方法支撑。

带有重力源项的可压缩欧拉方程经常出现于数值天气预报领域。针对该方程的高精度数值方法研究有着重要的科学意义和广泛的应用前景。项目获得许多有意义的新结果，主要进展包括：(1) 针对带有重力源项的可压缩欧拉方程，通过构造合理辅助函数来实现分裂算法，将未知解分裂为定常部分与扰动部分；然后基于流体静力学重构方式来构造数值通量；此外将分裂算法应用于源项离散，使得针对源项的离散与针对通量梯度的离散相互精确平衡掉，进而得到半离散方法；然后借助于Runge-Kutta时间离散方式向前推进，最终实现了保持定常解的高精度well-balanced Runge-Kutta间断伽辽金方法(RKDG方法)，该方法保持定常解至机器精度，针对光滑解保持高精度，且对于强间断保持陡峭的间断过渡。(2)在有限差分格式的框架下，针对带有重力源项的欧拉方程,首先基于显式定常解，将重力源项进行等价变形，得到修正的控制方程；进而借助于加权本质无震荡重构方式构造数值通量，并获得高阶的离散源项，最终将针对通量梯度与源项的离散相互抵消掉，实现了well-balanced有限差分加权本质无震荡格式(WENO格式)，该格式拥有高精度，且具有高分辨。(3) 基于微分变换策略，将双曲守恒律方程组的控制方程本身转化为数值解的相邻阶的时空混合偏导数之间的代数递推公式,然后通过递推关系获得数值解的各阶时空混合偏导数，进而在一个时间区间内将数值解展开成截断时空泰勒多项式，从而针对数值解实现局部的时间演化，最终成功建立基于ADER时间离散方式的间断伽辽金方法(ADER-DG方法)；该方法理论上针对时空具有任意高阶精度，能够体现时空的高度关联性，这与流体力学方程体现时空间的相互关联性是高度契合的；该方法已被成功应用于可压缩欧拉方程，以及带有不平水体底部的浅水波方程；与同阶的RKDG方法相比较，该方法能够节约非常可观的时间成本，且分辨率不相上下，因此该方法更加适应高维问题。项目组在本领域重要期刊发表SCI论文共计13篇。总之，项目实现了预期目标，取得了丰硕的研究成果。本项目的研究成果将进一步丰富计算流体力学领域的现有理论与方法。