非线性变分问题理论和应用

The project is to develop new theory and methods in nonlinear functional analysis to investigate solutions structure for several classes of nonlinear partial differential equations such as existence, multiplicity, and symmetry, geometric and analytic property of solutions. The projects to be studied include bifurcations theory for potential operator equations and applications to coupled nonlinear Schrodinger equations; minimax methods for invariant sets of deformation flows and applications to ground states and bound states of coupled systems; asymptotic analysis of nonlinear equations with large or small parameters such as functional inequalities with singularities, semilinear boundary value problems in large domains, perturbed critical point theory with small parameters and applications to quasilinear equations, limiting profiles for coupled equations with mixed couplings. These studies will advance the theory of nonlinear analysis and applications to nonlinear differential equations.

本项目发展非线性泛函分析理论和方法研究几类具有变分结构的非线性偏微分方程的可解性、多解的存在性，以及解的对称，几何和分析性质。我们的研究课题包括以下几项. 位势算子大范围分支的理论和在耦合型薛定谔方程组整体解的结构研究应用；流不变集极大极小变分方法和在耦合型薛定谔方程组驻波基态解和束缚态解的研究应用；非线性方程大参数和小参数变分结构渐进性质，包括泛函不等式极值函数和带奇点和退化方程解的渐进性质，半线性椭圆边界值问题在大尺度的渐进行为，扰动临界点理论在小参数下的极限估计和在拟线性方程的应用，具有混合耦合作用的方程组解的渐进极限等。我们期望通过对上述具体问题的研究，推进非线性分析理论与非线性方程应用的发展。

本项目旨在开发非线性泛函分析的新理论和新方法，研究几类非线性偏微分方程的解结构，如存在性、多重性和对称性，几何以及解的其他解析性质。.我们研究了耦合型非线性薛定谔方程组和拟线性薛定谔方程的节点解。这是通过在下降流不变集下的极大极小方法设置中开发新方法来实现的。这些方法可以在伪梯度流或抛物流下实现。我们还发展了分析具有小参数或大参数的非线性方程组和系统的解结构的渐近行为的新技术。这些方法和技术将用于其他问题。