非线性变分问题研究

In this project the variational methods and critical point theory are applied in the study of the existence and multiplicity of solutions of several nonlinear variational problems. ..We will study the existence of nontrivial solutions for semilinear differential equations including elliptic problem and Hamiltonian systems with nonlinearities having linear bound. ..We will study the ground state and bounded state for nonlinear Schrodinger equations with singular potentials. ..We will esitablish some weighted Sobolev embedding theorem and embedding inequalities and then apply them to study the solutions to degenerate quasilinear elliptic eqaution and systems as well as the geometric, analystic properties of the solutions and properties if the minimal function relating to embedding inequalities. ..We will study the multiple solutions of quasilinear elliptic boundary value problems. ..The topics of this project are entried in the international frontiers of the scientific research of variational theory, the selected problems are eagerly and extensively studied by mathematician around the world and these problems have important theoretic meanings and research values. We hope to make some contributions to the development of nonlinear analysis via the study of the project.

本项目应用变分方法、临界点理论研究几类非线性变分问题解的存在性和多重性以及解的几何、分析和拓扑性态。将主要研究非线性扰动项具有线性界的半线性微分方程（椭圆方程、Hamilton系统等）的非平凡解；研究具有奇异位势的非线性薛定鄂方程的基态解、束缚态解的存在性以及解的集中现象；建立带有无界和衰减的加权函数的Soblev型嵌入定理和嵌入不等式，进而研究退化和奇异拟线性椭圆方程和方程组的解的存在性和解的分析、几何性态和关于嵌入不等式的极值函数的性质；研究拟线性椭圆边值问题的多解存在性。本项目的选题切入变分理论的国际研究前沿，所选问题是近年来国际上的热门研究课题，具有重要的理论意义和研究价值。我们期望通过本课题的研究，推进非线性分析理论与应用的发展。

本项目应用极大极小方法、Morse理论、指标理论、分歧理论、嵌入理论等非线性分析的理论和方法，先后对半线性椭圆系统、半线性椭圆方程、拟线性椭圆方程、超线性Hamilton椭圆系统问题、半线性薛定谔-泊松方程、拟线性薛定谔方程、带有径向位势的Kirchhoff方程、描述非线性光学中二次谐波模型的薛定谔方程组、Caffarelli-Kohn-Nirenberg型椭圆方程等变分问题开展研究，涉及了非线性微分方程变分解的存在性、唯一性、多解性、解的分析性质、几何性质、拓扑性质。.应用Morse理论建立了梯度系统的共振问题和超线性问题、半线性椭圆方程的共振问题，p-Laplace方程和p-Kirchhoff方程等拟线性椭圆型方程的多解问题；应用临界点定理研究了Orlicz-Sobolev空间上的拟线性椭圆非齐次问题；.建立了径向函数带权Sobolev空间到带权L^1空间的紧嵌入定理，研究了带有无界和衰减位势的拟线性薛定谔方程解的存在唯一性；建立了局部Lipschitz连续泛函的多临界点定理，结合带权Sobolev空间到带权L^1空间的紧嵌入定理，研究了全空间上具有不连续非线性项的拟线性椭圆问题的分布解的存在性；建立了R^3空间中有径向位势的Kirchhoff方程的多平凡解结果；通过对径向对称的系数函数提出衰减或增长条件，建立了径向Sobolev空间到带权L^p空间的紧嵌入，研究了散度形式的拟线性椭圆型方程解的存在性和多解性。.研究了Schrodinger-Possion方程在位势函数的不同情形下解的存在性、无穷多解的存在性、半经典解的存在性与集中性，对于带有凹凸非线性项的情形，获得了问题无穷多解的存在性；.研究了带有临界项的与Caffarelli–Kohn–Nirenberg 不等式相关的椭圆方程解的存在性和非存在性和哈密尔顿型的Schrodinger 方程组基态解的存在性和多解性。研究了非线性光学中的二次谐波模型，获得了方程组基态解的存在性、部分唯一性和参数变化时解的分歧性质。.研究成果形成学术论文19篇，在15种国际重要期刊上发表，其中SCI期刊论文18篇，权威核心期刊论文1篇。研究结果揭示了具体变分问题的新现象，延拓和扩展的研究课题的范围，发展了变分方法的新理论，开辟了新的研究课题。研究成果被受到了国际同行的关注和引用。项目的实施促进了学术梯队的建设和研究人才的培养。