期权定价中无穷维互补问题与平衡问题的罚方法研究

本项目主要研究美式期权定价中的无穷维互补问题以及带有互补约束的平衡问题。在罚方法的理论框架下分析此类无穷维互补问题及平衡问题的解的性质（存在性、唯一性以及罚问题的收敛性），并研究基于罚方法的大规模数值优化算法。包括：（1）应用罚方法求解美式期权定价中的复杂的无穷维互补问题（线性与非线性的），研究罚问题解的存在性、唯一性和收敛性；（2）应用罚方法求解美式期权定价中的带有互补约束的平衡问题，研究罚问题的最优性条件、罚问题解的收敛性等；（3）对（1）和（2）中确立的罚问题建立高效稳健的大规模数值优化算法，研究算法的稳定性和收敛性。.本项目的工作对于无穷维中优化问题的理论和算法研究，以及它们在数理金融中的进一步应用具有十分重要的意义。

本项目主要研究了美式期权定价中无穷维互补问题和平衡问题，特别是应用非光滑优化理论中的低阶罚方法对这两类问题进行理论分析并建立基于罚方法的数值优化算法。重要的研究成果包括：（1）借助变分不等式理论和粘性解理论，应用低阶罚方法分析美式期权定价中的无穷维互补问题，包括美式债券期权定价问题、机制转换下美式期权定价以及Levy过程下美式期权定价；（2）应用罚方法研究了美式期权定价逆问题——平衡问题解的性质，分析了罚问题解的收敛性；（3）在（1）和（2）的理论分析基础上，设计了新型的有限体积法，并建立了基于罚方法的无穷维互补和平衡问题的数值优化算法，并分析算法的稳定性和收敛性，并用数值试验验证了算法的收敛性质。（4）借助变分不等式理论，发展了一类求解美式期权定价中的无穷维互补问题的新的内罚方法，并分析了他的收敛性。