完全非线性椭圆方程斜导数问题的边界正则性

Oblique derivative problems arise widely from physics and geometry etc. With the aid of the method of continuity and a priori estimates, several existence and uniqueness results of C^(2,α) solutions for oblique derivative problems have been obtained. However, the regularity for viscosity solutions of oblique derivative problems for fully nonlinear elliptic equations is not known. Only the C^(k,α) (k=0,1,2) regularity for Neumann problems (a special case of oblique derivative problems) on flat boundaries has been derived. This project will study the regularity for the problem abovementioned on general domains through the method of approximation and perturbation. A series of C^(k,α) (k≥0) regularity and W^(k,p) (k=1,2) regularity are intended to be obtained. In addition, this project will further study the oblique derivative problems with nonlinear boundary conditions. Based on proposed proper structure conditions on the nonlinear operators, we also aim at deriving the corresponding boundary regularity. The research results of this project will enrich the regularity theory for oblique derivative problems and provide new techniques. These will gain a deep understanding about the relations between the solutions, the uniform ellipticity, the oblique boundary conditions and the domains’ geometric properties.

偏微分方程斜导数问题在物理、几何等领域有广泛应用。借助于连续性方法和预估计，这类问题的若干C^(2,α)解的存在性、唯一性已经被证明。但对于完全非线性椭圆方程斜导数问题粘性解的边界正则性的研究仍是空白，目前仅有Neumann问题（斜导数问题的特例）在平坦边界条件下的C^(k,α)（k=0,1,2）正则性结果。本项目将采用逼近和迭代的方法对完全非线性椭圆方程斜导数问题粘性解在一般区域上的边界正则性开展研究，以期得到一系列C^(k,α)（k≥0）正则性和W^(k,p)（k=1,2）正则性。另外，本项目还将进一步研究非线性边界条件下的斜导数问题，将对非线性算子提出适当的结构条件并证明相应的边界正则性。本项目不仅将得到丰富的正则性结果，完善斜导数问题的正则性理论，也将发展斜导数问题新的研究方法，并且对方程的解、一致椭圆条件、斜导数条件和区域边界几何性质的内在联系获得更深刻的认识。

椭圆偏微分方程斜导数问题是Neumann问题和Robin问题的自然推广，主要来源于物理问题，例如：反射震波、跨音速流等。线性方程的斜导数问题已经被广泛研究。但完全非线性椭圆方程斜导数问题的边界正则性仍是空白。. 本项目采用逼近、迭代的方法对该问题的边界正则性开展了深入、系统的研究，得到了一系列正则性结果。本项目给出了粘性解(适用于完全非线性椭圆方程的一种弱解)的定义和若干基本性质，特别是一组粘性解的封闭性；证明了Alexandrov–Bakel’man–Pucci极值原理、到边界的Harnack不等式、边界C^α正则性、C^(1,α) 正则性、C^(2,α) 正则性和高阶正则性（直至无穷光滑）；证明了粘性解的Jensen唯一性引理，并基于此得到了粘性解的存在性和唯一性。上述结果以学术论文的形式发表在数学领域著名期刊Archive for Rational Mechanics and Analysis上。. 本项目的研究结果填补了完全非线性椭圆方程斜导数问题正则性理论的空白并提供了新的研究方法，对方程的解、一致椭圆条件、斜边界条件和区域边界几何性质的内在联系有更深刻的认识。. 另外，本项目还对完全非线性椭圆方程的Dirichlet问题的边界正则性进行了深入研究，得到了边界C^α正则性、边界Lipschitz正则性、Hopf引理、边界C^(1,α) 正则性、C^(2,α) 正则性等。这些结果以论文形式发表在数学领域知名期刊Journal de Mathématiques Pures et Appliquées、Journal of Differential Equations、Manuscripta Mathematica上。. 这些结果推广了已有的边界正则性结果，甚至对于线性方程，部分结果也是新的。