Hamilton-Jacobi方程的广义特征线的研究

We will study the singularity dynamics and its stability problem of the viscosity solutions of the H-J equations with its applications to the Mather theory and the weak KAM theory, and its applications to the Hamiltonian dynamics.We know now that the singularity of the barrier functions will propagate on the supercritical energy surface as well as that of the weak KAM solutions. This research area will be great application of the optimal control theory to some deep results in Hamiltonian dynamics. We hope to solve the following problems: .1. We intend to find an analytic setting for the propagation of singularities on viscosity solutions along the generalized characteristics; .2. We want to study the relationship between the regulation of the barrier functions and the propagation of the singular points; .3. We shall give the variational constructions on the viscosity solutions of the H-J equations with the optimal control items.

我们主要研究Hamitlon-Jacobi 方程粘性解的奇点动力学，以及它在Mather理论及弱KAM 理论中的应用。在大于Mane 临界值的能量面上，弱KAM 不存在孤立奇点。奇点的动力学及其稳定性与Aubry 类的拓扑结构、共轭点的产生与消失，粘性解以及障碍函数的正则性，局部极小轨道的构造有着密切的联系。我们利用最优控制理论与Hamilton 动力学相结合的方法，拟解决以下问题：1、找出Hamilton-Jacobi 方程粘性解奇点沿广义特征线的传播条件；2、研究奇点传播与障碍函数关于上同调类具备某种正则性的关系；3、给出带控制项的 Hamilton-Jacobi 方程粘性解的变分结构。

Hamilton 系统是动力系统理论重要的研究领域之一，具有丰富的内涵，Hamilton 系统的动力学稳定性问题是一个古老而未能完全解决的问题，粗略地讲, 大多数近可积系统的大部分运动在动力学意义下是稳定的（根据 KAM 理论），同时，不稳定的轨道在相空间内有可能稠密（Arnold 扩散）。上个世纪90年代，由 J. Mather 开创的高维正定 Lagrangian 系统的极小变分方法，导致正定系统的 Arnold 扩散的研究取得了突破性的进展。用变分的观点研究 Hamilton 系统的动力学不稳定性有其优势。这时可以从考虑Lagrange 系统入手。正定 Hamilton 系统的研究与正定 Lagrange 系统的研究等价。90年代后期，Fathi 等发展了关于Hamilton-Jacobi 方程的弱KAM理论。弱KAM理论作为桥梁沟通了 Mather 理论和 Hamilton-Jacobi 方程粘性解的联系，后者自上世纪60-70 年代发展起来，在PDE、最优控制等领域得到了巨大发展。同时也为Arnold扩散提供了新的方法，为 Hamilton 系统的不稳定性研究开辟了新的道路。程伟等人利用Hamilton-Jacobi方程粘性解的半凹性理论等，给出了力学系统不稳定性的一些结果。. 我们的研究主要围绕以下问题展开：一、Hamilton-Jacobi 方程粘性解的奇点传播条件；二、与Hamilton系统有很大关系的双曲守恒律的解的形态；三、Hamilton-Jacobi 方程粘性解的奇点传播与Hmailton 系统不稳定性之间的关系；四、关于局部极小不变集的研究。. 得到了一类系统的奇点传播条件，研究了Hamilton-Jacobi方程与双曲守恒律之间的联系。