Hamilton-Jacobi方程的弱KAM理论

We are devoted to establishing weak KAM theory for more general Hamilton-Jacobi equations with the unknown function u. A. Fathi developed so called weak KAM theory by combing M.Crandall and P.L.Lions's work on viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations and Mather theory on global minimizers. Weak KAM theory has made a lot of great progress and become a bridge connecting Hamiltonian dynamical systems and PDEs. However, Fathi's weak KAM theory are only concerned with the Hamilton-Jacobi equations without the unknown function u explicitly so far, which is a special case in PDEs' category. By introducing a new variational principle, we will establish weak KAM theory for more general Hamilton-Jacobi equations and show its applications.

考虑显含未知函数u的Hamilton-Jacobi方程，我们致力于对此类方程建立相应的弱KAM理论。法国数学家A. Fathi等人结合美国数学家M. Crandall 以及菲尔茨奖获得者P. L. Lions等人关于Hamilton-Jacobi方程粘性解的工作和基于全局极小化的思想建立的Mather理论对不显含未知函数u的Hamilton-Jacobi方程建立了弱KAM理论。十几年来，弱KAM理论取得了很多重要进展，成为了连接动力系统与PDE的一座桥梁。但截至目前，弱KAM理论考虑的对象局限于不显含未知函数u的Hamilton-Jacobi方程。此类方程从PDE的角度此类方程从PDE的角度看具有很强的特殊性。通过引入新的变分原理，我们将对显含未知函数u的一般的Hamilton-Jacobi方程建立相应的弱KAM理论并揭示其应用。

上世纪九十年代，法国数学家A. Fathi等人结合菲尔茨奖获得者P. L. Lions等人关于Hamilton-Jacobi方程粘性解的工作和基于全局极小化的思想建立的Mather理论对经典（不显含未知函数）的Hamilton-Jacobi方程建立了弱KAM理论。多年来，弱KAM理论取得了很多重要进展，成为了连接动力系统与PDE的一座桥梁。项目负责人与合作者在更一般的框架下，对切触型（显含未知函数）Hamilton-Jacobi方程建立了相应的弱KAM理论并且进一步研究了经典Hamilton-Jacobi方程与二阶Hamilton-Jacobi-Bellman方程的动力学。在本项目的资助下，项目负责人基于隐式变分原理，对Hamilton-Jacobi方程的弱KAM理论进行了系统深入的研究，取得一系列成果，发表学术论文6篇，其中包括《SIAM Journal on Control and Optimization》、《Journal de Mathématiques Pures et Appliqué》、《Nonlinearity》等专业一流杂志。