多辛谱与拟谱 Runge-Kutta 型方法的理论与应用研究

本项目主要研究多辛Hamilton 系统的多辛谱与拟谱Runge-Kutta型离散的理论与方法、数值计算以及应用研究。我们从一般的多辛Hamilton 系统出发，构造其多辛谱与拟谱Runge-Kutta型离散格式，考虑半离散或全离散时对离散多辛性的保持，进而探讨这类方法的数值逼近误差以及方法的稳定性。考察这类方法对能量、动量等一些重要守恒律的保持性，发展相应的能量、动量分析理论，给出多辛谱与拟谱Runge-Kutta型方法在保持这些重要守恒律上的误差估计。在应用上，我们用构造的格式模拟量子物理、经典力学、电磁学中等一些问题，通过数值计算检验算法的理论分析、效率以及实用性，并和常用的一些算法做出比较，总结好或不好的原因，达到改进算法的目的。进而希望能给出高维多辛Hamilton系统、计算流体力学中一些重要问题的数值模拟，为多辛几何算法走向更实际的科学、工程应用做出一些努力和尝试。

目前偏微分方程的多辛几何算法分为两大类：一是2000年Reich 基于Bridges的多辛几何框架提出的B体系；二是1998年由Marsden 基于Gotay的多辛协变场论框架提出来的M体系。多辛谱与拟谱离散首先由Bridges 和 Reich在2001年引入，并将其应用到Zakharov-Kuznetsov 和 shallow-water 方程。我们首先是在B体系下以1+1维非线性Dirac方程、非线性Schroedinger方程等为模型方程，在空间上用拟谱方法、在时间上用高阶辛RK格式进行离散得到了这些方程的多辛拟谱RK型格式，在半离散、全离散情形给出了一些理论分析，对一些初边值条件进行了数值模拟，检验了数值解在长时间的演化以及对各种离散守恒律的保持。然后考虑到多辛拟谱离散难以在1+2维多辛偏微分方程中推广，我们提出了拟多辛谱离散格式，并将其应用到一些1+1维和1+2维多辛系统中进行讨论。注意到M体系下多辛几何理论与数值方法方面的一些优势以及B体系下发展高阶多辛数值格式的困难性，我们还讨论了M体系下多辛几何数值格式的构造及其在一些重要的偏微分方程中的应用，并结合动力学观点、协变的动量映射理论与相关的物理理论考察对一些重要守恒律及物理性质的保持，比较在不同体系或在M体系下不同时空网格离散的优劣性。