三角单元谱方法和算子分裂Runge-Kutta方法

谱方法与差分法和有限元法一起成为数值求解偏微分方程的重要方法，在科学和工程技术的众多领域得到日益广泛的应用。本课题致力于克服目前谱方法在应用于实际问题计算中存在的一些困难和缺点：1）对于复杂区域上的问题，发展三角单元的谱元法，采用新的区域映照，避免原有方法中从线（或面）到点的映照奇性，结合多区域方法及其高阶元和各向异性后验误差估计等技术，形成能有效地应用于一般区域问题的谱元法；2）发展高精度时间离散方法，基于算子分裂思想，按不同刚性设计半隐Runge-Kutta型格式，使便于实施且稳定性好，结合交错时间步长技术，形成与空间方向谱逼近匹配更好的时间离散；3）对于具变系数高阶导数项问题，设计低次多项式预条件算法，结合交替方向技术，有效地实现高维问题计算。从而使谱方法能更好地适用于实际问题，并建立相应的数值分析理论，较大地推进谱方法的发展和应用。

本项目围绕偏微分方程谱方法在解决科学和工程领域中许多实际问题时存在的一些困难和局限开展研究，主要工作内容如下：.1) 研究三角单元谱元法，采用新的区域映照，避免原有方法中从线（或面）到点的映照奇性，对于多边形区域问题，发展了三角形单元和四边形单元相结合的Legendre-Galerkin数值积分(GNI)谱元法。分析了三角单元多项式拟谱插值的误差以及相关正交投影误差，应用于多边形区域非线性椭圆型方程和Stokes方程边值问题、以及抛物方程的初边值问题，更好适合复杂边界。对于四边形上变系数椭圆方程边值问题，建立最小二乘Legendre-Galerkin Chebyshev配置方法，证明了强制性和稳定性，获得最优误差估计，并进一步研究了三角单元上变系数问题的Legendre-GNI最小二乘法及其数值分析。.2) 发展了基于Runge-Kutta方法的高阶半隐格式，对刚性较强的线性项采用隐格式改进稳定性，非线性项采用显格式便于计算。构造了三阶半隐格式，并将方法应用于求解若干非线性偏微分方程。建立了常微分方程的单步和多步Legendre-tau Chebyshev配置格式，利用正交性得到格式的简洁形式，可借助快速Legendre-Chebyshev变换计算，改进了原有相关方法的误差估计阶。 .3) 研究地下腔体内电磁场散射带穿透边界条件的Helmholtz方程边值问题，给出显式依赖于大波数的稳定性估计，改进了已有的结果。证明了逼近解的存在唯一性、及方法的稳定性和谱精度。发展了保持离散能量守恒的分裂Legendre谱方法和配置法，计算两维Maxwell方程，将多维问题化为一维问题求解，提高了计算效率，证明了逼近的谱精度，并进一步推广到多区域谱方法。.本项目的研究工作还包括有关最优控制问题多区域拟谱方法的自适应算法、Squircle区域问题的谱方法、双曲方程的耗散谱元法、非线性反应扩散方程间断Galerkin谱元法、随机偏微分方程的多项式混沌展开谱方法、以及积分方程和分数阶微分方程的谱方法的内容，这些工作有助于推进谱方法的发展和应用，更有效地求解各种实际问题。