Domain理论中拟C-空间与谱空间的刻画

Quasi-C-spaces, which are common generalizations of C-spaces and quasicontinuous domains, and spectral spaces which are closely related to Priestley spaces, belong to the typical intersection research objects of topology structure and order structure in domain theory. In this project, we will systematically study the properties of Quasi-C-spaces and spectral spaces from their topology structure, order structure and category structure. Particularly we will study the properties of preserving under some important constructions, also we will give some relative applications. We are look forward to finding the relations among quasi-C-spaces, C-spaces, quasi-B-spaces, monotone convergence spaces, etc. and establish some connections between relative categories. We will characterize stably compact quasi-C-spaces and discuss the conditions under which a quasi-C-space is a spectral space. We also discuss the conditions under which some intrinsic topologies are up-spectral or down-spectral and give some relative characterizations of them. Based on the relations between spectral spaces and Priestley spaces, we will study the order structure characteristics of a poset which is a Priestley space with respect to the path topology of its order consistent toplogy. We hope to unify the corresponding work which are known to us about the characterizations of Priestley spaces.

作为C-空间与拟连续domain共同推广的拟C-空间以及与Priestley空间有着密切联系的谱空间隶属Domain理论中拓扑结构与序结构相结合的典范之列。本项目将从拓扑结构、序结构和范畴结构三个方面系统地研究拟C-空间、谱空间的性质。具体地说，研究拟C-空间和谱空间关于一些重要构造的封闭性并给出相关应用；沟通拟C-空间、C-空间、拟B-空间、单调收敛空间等空间之间的关系，建立若干相关范畴之间的联系；刻画稳定紧拟C-空间，在此基础上，讨论拟C-空间成为谱空间所需具备的条件；研究偏序集上一些内蕴拓扑成为上谱拓扑、下谱拓扑的条件并给出它们的相应刻画，厘清相关拓扑之间的关系；基于谱空间与Priestley空间之间的关系，研究偏序集关于其上序相容拓扑的patch拓扑为Priestley空间的序结构特征，统一已有关于Priestley空间刻画的相应工作。

本项目从范畴结构、拓扑结构、序结构三方面研究了domain及其广义化的性质。拟连续domain与广义可数逼近偏序集分别为关于其上Scott拓扑、σ-Scott拓扑为拟C-空间的偏序集。我们证明了对于拟连续domain，Lawson紧性，QRB domain，QFS domain是等价的；讨论了拟连续domain上的相容Smyth幂domain的性质，得到了广义可数逼近偏序集的一些等价刻画。在domain范畴的笛卡尔闭子范畴方面，我们在一般情形下证明了Scott domain范畴的笛卡尔闭子范畴一定是局部分配的，回答了张国强提出的一个公开问题；证明了在以具有可数基的代数交cpo为对象、以稳定Scott连续映射为态射的范畴中，稳定双有限domain范畴是极大的笛卡尔闭满子范畴，部分回答了持续近20年Currien-Amadio问题；证明了在可数基条件下，以保way-below关系的Scott连续映射为态射的代数domain范畴中，最大笛卡尔闭子范畴只能是有限偏序范畴，从而部分解决了杨忠强提出的一个公开问题。在拓扑结构与序结构方面，项目组成员证明了从Lawson紧连续domain到连续B-domain的函数空间是连续B-domain；证明了RW-空间到连续L-domain空间上的Scott拓扑与Isbell拓扑是相同的；我们为每个T1空间建立了一个dcpo模型，作为应用可以给任何一个不满足well-filtered性质的空间建立一个dcpo模型，这样的dcpo模型不满足well-filtered性质，因而非sober的；进一步我们证明了有界完备的dcpo是well-filtered的、满足Lawson条件的极大点空间是well-filtered且coherent的；我们讨论了可数sober空间的性质并得到了可数sober空间版本的Hofmann-Mislove定理。