非线性分数阶偏微分方程的三类两层网格有限元算法的数值理论及计算研究

We present and study the new time two-grid finite element method and new space-time two-grid finite element method, discuss the existing space two-grid finite element method. The three classes of two-grid finite element methods mainly include two computing steps: we first solve a nonlinear finite element system on a time, space-time and space coarse grid by nonlinear iterations, respectively, then solve the linearized finite element system on the time, space-time and space fine grid by the iteration, respectively. We apply three classes of two-grid finite element methods to solving two or three-dimensional nonlinear fractional partial differential equations, mainly approximate fractional derivatives by using high-order approximation formulas, discuss the stability for numerical schemes, derive the theoretical analysis for the existence and uniqueness of solution and error estimates. Compared to nonlinear finite element method by the results of numerical calculations, the computing time can be saved by using the three classes of two-grid finite element methods. What's more, we propose new time and space-time two-grid finite element methods, give the detailed numerical theories and numerical results by solving nonlinear fractional partial differential equations, and also develop the existing space two-grid finite element method by solving nonlinear fractional partial differential equations.

提出并研究新型时间两层网格有限元方法和新型时空两层网格有限元方法，讨论已有的空间两层网格有限元方法。三类两层网格有限元方法主要分为两个计算步骤：首先分别在时间、时空和空间粗网格上通过非线性迭代方法求解一个非线性有限元系统，然后分别在时间、时空和空间细网格上求解一个线性系统。利用三类两层网格有限元方法数值求解二维或三维非线性分数阶偏微分方程，主要通过高阶逼近分数阶导数给出高阶数值格式，讨论数值格式的稳定性，给出格式解的存在唯一性、误差估计等数值理论分析。通过数值计算结果表明相比非线性有限元方法而言，三类两层网格有限元方法能够有效性地节省计算时间。重要的是课题提出了新型时间和时空两层两层网格算法，并通过求解非线性分数偏微分方程给出了详细的数值理论和数值结果，同时通过求解非线性分数偏微分方程发展了已有的空间两层网格有限元方法。

分数阶微分方程在科学和工程中的很多领域有着重要作用，然而其解难于利用解析方法求得，因此研究其高效的数值解法便显得尤为重要。本项目主要研究分数阶微分方程一些数值解法(有限元方法、混合有限元方法、LDG方法、有限差分法等)和快速算法(时间两网格算法、空间两网格算法、其它快速算法等)。其中时间两网格(混合)有限元算法对于时间依赖问题能够节省一定的计算时间，主要通过时间分数阶水波模型、分数阶Allen-Cahn方程、分数阶Gray–Scott模型、分布阶模型等进行研究，并给出相应的误差估计等数值理论分析；空间两网格有限元算法主要提升高维空间方向的计算效率，利用此快速算法研究时空分数阶扩散模型，给出误差估计等数值理论分析及数值计算结果，从计算结果中可以看出快速算法的优势；基于CF导数和学者提出的分数阶导数的快速计算方法给出适合于该CF导数的快速技巧，数值计算结果显示能够很大程度上提升计算效率；对于分数阶导数的广义BDF-theta算法给出重要的非负性等性质证明，进而给出了完善的误差估计理论分析；研究分数阶导数的两族逼近公式性质, 并基于分数阶Cable方程模型进行详细分析；提出分数阶导数的一类移位高阶逼近公式，能够很好地处理含有对流项的模型问题，并将该方法推广应用于高维分数阶Schrodinger方程数值解法研究，给出基于差分方法的数值理论及数值计算结果；也对分数阶模型的混合元方法、有限元方法、LDG方法进行了数值理论及数值计算研究。以上相关结果主要发表在 Journal of Computational Physics、Journal of Scientific Computing、International Journal of Heat and Mass Transfer、Applied Mathematics Letters、Computers & Mathematics with Applications、Applied Mathematics and Computation、Numerical Algorithms等期刊上。这些研究成果能够在一定程度上推动分数阶模型数值解法的发展，为科学和工程计算领域提供一些技术支持，具有一定的理论意义和实际应用价值。