图的Brouwer猜想及相关问题的研究

The research about Brouwer's conjecture and the Laplacian Estrada index of graphs is an important research direction and hot spot of spectral theory. Recently, based on the work of the predecessors, we have studied the Laplacian Estrada index of graphs and obtained some meaningful results and made some progress on the the sum of k largest (signless) Laplacian eigenvalues of graphs. We hope that the relation between the properties of the eigenvalues and the structure of graphs is studied from different viewpoints such as matrix theory, combinatoric , eigenspace theory, and so on. In the project, Using theproperties of the eigenvalues of matrices and combining the graph eigenspace theory, we hope to solve the Brouwer's conjecture and Ashraf's conjecture partially or completely; With the property of the Laplacian spectrum and the properties of inequalities, we hope to study an edge grafting operation on a graph for Laplacian Estrada index and characterize the bounds of the Laplacian Estrada index of graphs and their extreme graphs. For the new tools of studying the eigenvalues of graphs, we will furtherly explore new problem and their realitic applications.

图的Brouwer猜想及拉普拉斯Estrada指数的研究是图谱理论的一个重要研究方向和热点问题。基于前人的基础，我们近来研究了拉普拉斯Estrada指数，得到了一些有意义的成果，在刻画图的前k大（无符号）拉普拉斯特征值的和上取得了一些进展。项目组希望通过本项目的研究，利用矩阵、图谱、组合以及特征空间等理论，从不同角度研究图的特征值的性质与图的结构之间的关系。利用矩阵特征值的性质，尝试特征空间理论的方法，部分或完全解决图的Brouwer猜想及Ashraf猜想；研究边的移接变形对图的拉普拉斯Estrada指数的影响，结合图的拉普拉斯谱的性质以及不等式性质，刻画出图的拉普拉斯Estrada指数的上下界以及极图；挖掘和丰富图的特征值理论的研究工具，以期推动问题的解决，进一步探索新的问题及实际应用。

图谱理论是图论与组合矩阵论的一个重要研究方向，通过图的邻接矩阵、Laplacian矩阵等代数表示，利用矩阵的特征值性质来研究图的拓扑性质及其确定性。近年来，图谱理论的研究取得了巨大的进展，得到了一系列的研究成果。本项目旨在结合矩阵的特征值性质与图的结构参数深入研究图的特征值问题，以期解决特征值的一些猜想和公开问题。该项目主要围绕图的特征值问题及其相关问题进行展开研究的。. 依托本项目，项目组成员研究了有向图的迹范数，即邻接矩阵的所有奇异值的和，确定了树和单圈图的迹范数的最大和最小的定向。将图谱理论推广到超图，即超图的边可以有任意多个顶点构成，给出了r个悬挂点n个顶点的k-一致超图的谱半径的上下界，刻画了给定边数的超图中谱半径最小和第二小的超图。研究了图的Zagreb离心率指标，确定了具有最大和第二大的Zagreb离心率指标的双圈图，刻画了取得最大和最小Zagreb离心率指标的仙人掌图。