自仿集和随机自仿覆盖集的维数及相关问题研究

This proposal concerns the problems related to the dimensions of self-affine sets and their geometric properties . It includes the dimension drop problem for self-affine sets, the ergodic equilibrium measures of self-affine iterated function system (IFS), and the geometric properties of affine random covering sets. For the fisrt problem we consider whether the Hausdorff and singularity dimensions of the new IFS always drops if we remove one function from a given self-affine IFS, which is helpful for the dimension theory of smooth dynamical systems. In the second problem we estimate the number of the ergodic equilibrium measures of self-affine IFS and investigate if they have their Gibbs properties, which is related to the sigularity dimension drop problem and enriches the theromdynamic formalism for self-affine IFS. The last one is on the dimension problem of the intersection between random covering set and determenistic set, and the projection. All these problems are popular and hard in fractal geometry and dynamical systems. We need the techniques in fractal geometry, dynamical system and ergodic theory, geometric measure theory, probability theory and exterior algebra to slove them.

本项目研究与自仿集的维数和几何性质相关的问题，包括自仿集的维数下降问题、自仿迭代函数系（IFS）的遍历平衡态测度、随机自仿覆盖集的几何性质。第一个问题，将满足一定分离性的自仿IFS去掉一个函数后，所生成自仿集的Hausdorff维数和奇异维数是否总会下降，该问题的研究对光滑动力系统的维数理论有帮助；第二个问题考虑自仿IFS遍历平衡态测度的个数及Gibbs性，这个问题与奇异维数下降研究密切相关，同时也将丰富自仿IFS热力学机制的研究；第三，研究随机自仿覆盖集与给定非随机集合的交集和投影的维数问题。这些问题是分形几何及动力系统研究中的热点和困难问题，需要结合分形几何、动力系统与遍历理论、几何测度论、概率论及外代数方面的思想和技巧来解决。

本项目研究与自仿集的维数和几何性质相关的问题，包括自仿集的维数下降问题和自仿迭代函数系（IFS）的遍历平衡态测度、随机自仿覆盖集的几何性质、动力系统的复杂性及相关分形问题。第一个问题，将满足一定分离性的自仿IFS去掉一个函数后，所生成自仿集的Hausdorff维数和奇异维数是否总会下降，该问题的研究对光滑动力系统的维数理论有帮助, 考虑自仿IFS遍历平衡态测度的个数及Gibbs性，这个问题与奇异维数下降研究密切相关，同时也将丰富自仿IFS热力学机制的研究。我们证明了在普适（几乎处处线性部分）意义下自仿集在去掉一个分支后，奇异维数总是严格下降的，结合Falconer（1988）的几乎处处维数的结果，得到关于几乎处处的平移，Hausdorff维数也总是下降的，这些结果部分地解决了维数下降猜想问题，也证明了遍历平衡态测度在几乎处处意义下是唯一的。第二个问题，研究随机自仿覆盖集与给定非随机集合的交集和投影的维数问题。对于随机覆盖问题，通过引进一个新的度量的方式解决了一类自仿随机覆盖问题的击中概率和与分形交集的维数问题，并对满足指数混合性的随机覆盖问题进行了深入研究，得到了测度、维数、击中概率结果，并将这些结果应用到动力系统中，得到指数混合动力系统的覆盖集的维数及与分形相交问题的结果。第三，动力系统的复杂性及相关分形问题，对两个满足指数混合性的动力系统（β-展式动力系统与连分数动力系统）的动力系统轨道的渐近性质进行了深入研究。这些问题是分形几何及动力系统研究中的热点和困难问题，综合运用分形几何、动力系统与遍历理论、几何测度论、概率论及外代数方面的思想和技巧来解决。