自仿集的拓扑结构和李普希兹等价

This research mainly study the topological structure of self-affine sets and their Lipschitz equivalence under some special case. The main contents are as follows: (1) for the self-affine iterated function system, we define a hyperbolic graph on the symbolic space, and study its hyperbolic boundary, we will prove that, under the weak separation condition, the hyperbolic boundary is homeomorphic to the self-affine set; (2) study the topological structure of Bedford-McMullen carpets, by using a periodic extension, we can provide a complete characterization of the topological classification; (3) study the topological characterization of a class of self-affine tiles with local disk-like structure; (4) under the setting of (1), we will go further to study the Lipschitz equivalence problem of self-affine sets, by using the previous method on self-similar sets, we try to obtain some general results on self-affine sets. We hope our research can make a useful contribution to the study on the topological structure of self-affine sets, make a first attempt to explore the Lipschitz equivalence of self-affine sets, and initiate a new study on the fractal geometry.

本项目主要研究自仿分形集上的拓扑结构以及特殊情况下的李普希兹等价问题。具体包括：（1）对于自仿迭代函数系统，我们在其符号空间上建立一个双曲图，研究它的双曲边界，我们将证明在弱分离条件下，该双曲边界与自仿集同胚；（2）研究Bedford-McMullen 地毯的拓扑结构，我们用周期性延拓的方法，给出它们拓扑分类的完整刻画；（3）研究一类局部具有类圆盘结构的连通自仿tile的拓扑特征；（4）在（1）的框架下，我们进一步研究自仿集的李普希兹等价问题，我们将借鉴之前对自相似集的李普希兹等价问题的处理方法，拟得到自仿集上的一般结论。我们希望本项目能够对自仿集的拓扑结构的研究做出有用的贡献，并对自仿集上的李普希兹等价进行初步的探索，为分形几何找到新的研究途径。

分形集的拓扑结构和李普希兹等价是目前国际上分形几何领域的一个主要研究课题，越来越多的中国学者也在这两个方面做出了许多基础性的贡献，本项目主要围绕这个研究课题开展研究工作。在基金委的资助下，经过项目成员三年来的不懈努力，我们取得了以下研究进展：.(1). 在自仿集的拓扑结构方面，本项目主要研究了自仿集的连通性、类圆盘性、自仿tiling的准周期性质等，并取得了一系列研究成果。具体包括：我们考察了由二阶扩张矩阵和连续共线数字集生成的自仿集的连通性，通过基数展开方法和多项式的一些技巧，我们成功的给出了自仿集连通性的一个充要条件。此结果与以往结论的明显区别在于，我们放宽了对连续共线数字集的限制，但它包含了以往的相关结论，是一次成功的推广；同时我们还研究了由非共线数字集生成的自仿tile的连通性质和类圆盘性质，以及相应的self-affine tiling 的准周期性质。. (2). 在李普希兹等价方面，本项目主要利用扩张树上的双曲结构和双曲边界理论来研究自相似集的李普希兹等价问题。首先通过在符号空间上引入一类简单的扩张树，研究它的拓扑结构和边界，建立与自相似集的Holder等价关系；然后，在开集条件和压缩比相同的条件下，我们得出了一大类完全不连通自相似集的等价性刻画，后来进一步推广，在弱分离条件和压缩比不相同的条件下，我们也取得了一些令人满意的结果。.(3).在分形方块的研究方面，基于项目负责人的前期工作，本项目首次研究了3阶分形方块的拓扑分类和李普希兹分类。因为该课题问题简单、有趣，但是研究方法复杂、多样，所以吸引了一大批人在做这方面的工作，目前有大量正在进行的研究与此有关。.(4). 其他方面的突破，在分形测度的谱理论研究方面，本项目分析了由连续共线数字集生成的自仿测度的谱性与非谱性，我们成功的将一维的谱理论推广到了高维。