BiHom-型代数及罗巴算子的若干研究

In this project, we will study the constructions and properties of the BiHom-type algebras and the Rota-Baxter operators on these algebras. Firstly, we will define the Yang-Baxter equation on BiHom-type algebras and explore the relation between this new equation and Rota-Baxter operators. The finite-dimensional module category of the quasitriangular BiHom-bialgebra and the category of Yetter-Drinfeld modules on BiHom-bialgebra can character the solution to the Yang-Baxter equation. Secondly, we investigate some properties of Rota-Baxter operators on BiHom-Lie algebras. Along the way, we introduce and discuss the properties of the notions of BiHom analogues of dendriform, quadri, pre-Lie, Leibniz and PostLie algebras. We construct the free Rota-Baxter BiHom-associative algebra and present some observations about categories and functor related to Rota-Baxter structures. Finally, we introduce the concepts of generalized Rota-Baxter operator and generalized derivation. We show how to obtain a certain generalized Rota-Baxter operator from a solution of the associative (Bi)Hom-Yang-Baxter equation, and in a compatible way, a Hom-pre-Lie algebra from a Hom-Infinitesimal algebra.

本项目主要研究BiHom-型代数的一些结构、性质及其上的罗巴算子。研究分为三部分：首先，定义BiHom-双代数上的Yang-Baxter方程并揭示该方程与罗巴算子之间的关系；通过拟三角BiHom-双代数的有限维表示范畴和BiHom-双代数上的Yetter-Drinfeld模范畴来刻画该方程的解。其次，研究BiHom-Lie代数上的罗巴算子的性质，并给出BiHom-型下的dendriform、quadri、pre-Lie、Leibniz和PostLie代数的定义及性质，构造自由罗巴BiHom-结合代数并利用罗巴算子来考虑这些代数上的范畴、函子间的关系。最后，引入广义罗巴算子和广义导子的定义并且发现广义罗巴算子来源于结合(Bi)Hom-Yang-Baxter的解，同时利用广义罗巴算子得到由Hom-Infinitesimal代数构造Hom-pre-Lie代数的方法。

本项目研究了BiHom-型代数的一些结构、性质及其上的罗巴算子。研究分为三部分：首先，给出BiHom-双代数上的左-左Yetter-Drinfeld模的定义并证明两个左-左Yetter-Drinfeld模的张量积还是一个左-左Yetter-Drinfeld 模并考虑拟三角BiHom- 双代数上的左模范畴和左-左Yetter-Drinfeld 模构成的范畴之间的关系，还研究BiHom-smash积代数上的Maschke型定理和Morita关系。其次，研究BiHom-Lie代数上的罗巴算子的性质，主要推广Aguiar的定理：如果A是某Lie代数，R是罗巴算子，可以利用R给A重新定义乘法使得A在新的乘法下仍是同类型的代数。但此定理在BiHom-型下对BiHom-Lie代数不成立，为此引入新概念左BiHom-Lie 代数，这个说明BiHom-型代数的推广不是平凡的。最后，引入无限维BiHom-双代数、BiHom-Novikov代数及BiHom-Novikov-Poisson代数的定义并发现这些结构之间的联系。主要考虑如何从无限维BiHom-双代数出发得到一个左BiHom-预-Lie代数。研究BiHom-Novikov-Poisson代数的性质，可得BiHom-Novikov-Poisson代数在张量积以及在一些扭曲作用后是封闭的。给出由BiHom-Novikov-Poisson代数得到BiHom-Poisson代数的充分必要条件。