罗巴代数及其在数论和数学物理中的应用

Rota-Baxter operator is the abstraction and generation of the integral operator, as well as the summation operator, projection operator and scalar product operator. Its study originated from the probability study of G. Baxter and the combinatorics study of Rota in the 1960s. It was also independently discovered by Russian mathematical physicists as the operator form of the classical Yang-Baxter equation, named after the physicists Chen-Ning Yang and R. Baxter. Entering this century, the theory of Rota-Baxter algebra has obtained systematical developments, with important applications to broad areas, such as quantum field theory, integrable systems, number theory, Hopf algebra, operad and combinatorics. This demonstrates the far reaching significance in the further study of Rota-Baxter algebra. Based on his extensive experience on Rota-Baxter and related areas, the applicant of this project plans to carry out study in three aspects with his group. A) Through the connection between Rota-Baxter algebra and multiple zeta values (MZV), establish the algebraic formulation of the important Hoffman Basis Conjecture in MZV, and generalize the study of MZV and their renormalization to MZVs from cones in geometry; B) Applying the theories of category and operads to deepen and generalize the many recently discovered connections between the Rota-Baxter operators and Yang-Baxter equations on associative algebras and those on Lie algebras, and study the Rota-Baxter operator action on operads; C) Continuing the study of integro-differential algebras and the ring of integro-differential operators; establish the representation theory of Rota-Baxter algebras.

罗巴算子是积分算子的抽象和推广。包括求和，投影和数乘等算子。其研究起源于上世纪六十年代G. Baxter的概率和Rota的组合研究。又作为经典杨-巴克斯特方程的算子形式被物理学家独立发现。本世纪来罗巴代数的基础理论得到系统发展，并在量子场论，可积系统，数论，Hopf代数，operad和组合等方面有重要应用,显示其研究的深远意义。本项目基于申请人在罗巴代数及相关领域的长期工作，拟开展三方面的研究。 A) 通过罗巴代数和多元zeta值（MZV）的联系，研究MZV中Hoffman基猜想的代数形式，进而将MZV及其重整化推广到锥的MZV上； B) 利用范畴和operad深化和推广代数上和李代数上罗巴算子和杨巴方程多方面的联系，并建立罗巴代数的operad理论； C）继续微积分代数和Rota-Baxter算子环的研究，建立Rota-Baxter代数的表示论。

本项目从事与罗巴（Rota-Baxter）代数有关的几方面研究。罗巴代数起源于概率论，是积分的代数化，与组合，数论，operad等数学领域有密切联系，在量子场论和杨-巴克斯特方程中有重要应用。本项目基于主持人，合作者和其他研究人员近年来在这方面的大量工作，得到如下方面的结果：..I..在数论和几何方面，作为多元zeta值的基本的求和公式和分解公式的推广，得到多元zeta值的一大类带权的求和公式和限制分解公式。同时将多元zeta值以几何的方式推广到锥zeta值，得到其双剖分公式；.II..在数学物理方面，利用量子场论重整化方法研究发散锥zeta值，建立与广义欧拉-麦克劳林公式的联系。并研究根树Hopf代数的泛性质和罗巴代数性质，及李代数和3-代数上的经典杨-巴克斯特方程；.III..在分析和符号计算方面，作为微积分的代数化引进了微积分代数。利用Groebner-Shirshov基方法构造交换和非交换微积分代数中的自由对象；.IV..在组合理论方面，建立罗巴代数，平均代数和微分代数与对称函数，生成函数，根树和欧拉公式的联系，特别解答Rota提出的罗巴代数与对称函数关系的问题；.V..在计算代数方面，用带算子代数的框架与重写系统和Groebner-Shirshov基方法，探讨Rota多年前提出的对线性算子所满足的算子代数方程分类的问题；.VI..在范畴论和operad理论方面，研究operad的分裂和罗巴代数所起的作用，圆满完成了多年前Loday发起的结合律分裂的研究。并研究微积分基本定理中微积分的相容性在范畴论中的表述。..这些研究加深和扩展了对罗巴代数相关领域的了解，结果发表在Duke Math Journal, Advances in Math, Journal of Algebra等数学和数学物理杂志上。共计SCI收录杂志文章25篇，其它文章多篇。