罗巴代数表示的若干研究

A Rota-Baxter operator is introduced as an algebraic abstraction and a generalization of the integration operator. An algebra with a Rota-Baxter operator is called a Rota-Baxter algebra.In the new century, the Rota-Baxter algebra is systematical studied, and it has a wide range of applications in mathematics and theoretical physics.. In mathematics research, the study of representations of any given algebraic structure plays a very important role in both its theoretical study and its applications. In this research,the representations of Rota-Baxter algebra is studied deeply from the following two aspects. On the one hand, we will take a direct approach to study Rota-Baxter modules generally. On the other hand, we will take some Rota-Baxter algebras which have important applications as typical examples to study their representations.

罗巴(Rota-Baxter)算子是积分算子的代数抽象和推广。带有罗巴算子的代数称为罗巴代数。本世纪以来，罗巴代数的基础理论得到系统发展，且已深入应用到数学以及理论物理中的很多分支。. 在现代代数学的研究中，无论是从基础理论还是具体应用的角度来看，对于某个特定类型代数的模或表示的研究都是一个重要的课题。本课题拟从以下两个方面，对罗巴代数表示理论经行深入地研究。一方面采取直接的办法研究罗巴代数模的一般性理论。另一方面选取一些典型的实际应用较多的罗巴代数为例，研究其表示理论。

在现代代数学的研究中，无论是从基础理论还是具体应用的角度来看，对于某个特定类型代数的模或表示的研究都是一个重要的课题。本课题继罗巴模的研究后,又研究了微分模。我们研究了权为λ的微分代数上的模，强调了微分算子所起的作用以及微分模和经典模之间的区别。本人引入了自由、射影、内射和平坦微分模的概念，并给出了自由微分模的构造，证明了微分模范畴中有足够多的射影、内射对象去提供相对应的分解。. 另外，作为平均算子的相对推广我们引入了相对平均算子的概念，并且确定了2-维复结合代数上的全体平均算子。结果表明，并非所有的二代数可以由平均代数导出。然后，我们将由平均算子构造的二代数和三代数推广到相对平均算子的情形。并且由相对平均算子的构造给出了全体二代数和三代数。