Poincare-Lelong方程与全纯函数的零点集

Based on a series of new results about plurisubharmonic functions and closed positve currents in pluripotential theory,we will inverstigate the Poincare-Lelong equation and discuss the relationship between a holomorphic function and its zero set.The project will focus on the following three topics: (1)Try to solve the Poincare-Lelong equation ,using the way of construct plurisubharmonic functions by variational method or pluricomplex Green function with singularities along general analytic sets . (2) Characterize the zero set of a bounded holomorphic function on the n-dimensional unit ball . (3)Using Poincare-Lelong equation to construct holomorphic functions with special properties (bounded in particular) on Stein manifold.

我们计划利用目前多位势理论中关于多重次调和函数和正闭流动形的一系列新结果来研究Poincare-Lelong方程，讨论全纯函数与它的零点集之间的关系。本项目的研究主要集中在以下三个方面：（1）尝试使用变分法或者奇点在一般解析集的Green函数构造多重次调和函数来解Poincare-Lelong方程；（2）利用Poincare-Lelong方程来刻画n维单位球内有界全纯函数的零点集；（3）利用Poincare-Lelong方程来构造Stein流形上的具有特定性质（特别是有界）的全纯函数。

多位势理论在过去三十年来涌现了大量新技术和新方法，它们导致了多复变函数论，蒙日安培方程，凯勒几何和代数几何等相关领域一批重要问题的解决。本项目致力于将多位势理论方法应用于新的问题，特别是求解庞加莱-勒龙方程，有界全纯函数的零点集的刻画以及斯坦因流形上有界非常值全纯函数的存在性等问题的研究。研究过程中我们得到了低维数下 n 维复欧式空间上旋转不变的常数量曲率奇异凯勒度量的分类；同时我们将多位势理论应用到 Sasaki 几何中，建立了Sasaki 流形上关于固定 Reeb 向量场的横截凯勒位势函数空间上度量结构的一系列基本性质，这些性质被用于解决常数量曲率的 Sasaki 结构的存在性问题。我们还提出了一个分类从斯坦因流形角度来研究有界全纯函数存在性的方法。