G-期望与凸积分表示理论研究

In this project, we make researches on the integralrepresentation of nonlinear expectation (G-expectation). We shall introduce a new nonlinear integral based on capacity --- convex integral. Some basic properties of the integral will be discussed, and the Jensen, Holder, Minkowski and other inequalities for the integral will be investigated. We will define a norm on the convex integrable functions space and discuss the completion of the normed linear space. We also discuss the convergence theorems for the new integral. Levi's theorem, and Lebesgue's dominated convergence theorem for convex integral will be shown, respectively. On this basis, we try to establish the convex integral representation theorem of sublinear expectation (G-expectation). Thus we can obtain some inequalities for sublinear expectation (G-expectation) and convergence theorems for sublinear expectation (G-expectation). We will show the relation between the convex integral representation theorem of sublinear expectation (G-expectation) and the previous representation theorem of sublinear expectation (G-expectation) which is described by family of linear expectation without integral. Lastly, we make an attempt to establish the Radon-Nikodym theorem with respect to convex integral, and by using it to intruduce conditional nonlinear expectation.We shall investigate the relation between the conditional nonlinear expectation and G-expectation.

本项目主要研究的是非线性期望（G-期望）的积分表示问题。 引入一类新的基于容度的非线性积分--凸积分。研究这类积分的基本性质,利用容度的核（core）上的概率测度确定的积分族刻画凸积分。证明凸积分的Jensen 不等式，Holder 不等式和Minkowski不等式。通过凸积分定义范数，研究凸可积函数空间的完备性。研究凸积分的收敛性定理，建立Levi 定理和Lebesgue 控制收敛定理。在此基础上, 建立次线性期望（G-期望）的凸积分表示定理。从而我们可得到非线性期望（G-期望）的各种类型的不等式以及非线性期望（G-期望）的收敛性定理。研究已有的次线性期望的表示定理与次线性期望的凸积分表示定理之间的关系。建立基于凸积分的Radon―Nikodym 定理，试图通过Radon―Nikodym 定理定义条件非线性数学期望。研究如此定义的条件非线性数学期望与G-条件期望之间的关系。

本项目主要研究了与非线性期望相关的基础理论问题。为揭示非线性积分与非线性期望（或次线性期望）之间的内在关系，如次线性期望的积分表示问题等，我们深入研究了几类非线性积分的许多理论问题，为研究非线性期望提供了一个可行的工具。我们定义了一类基于溶度（即单调测度）和有限集合系统的非线性积分--- 超分解积分(superdecomposition integral)。作为这一类非线性积分的一种特殊情况，我们引入了一类非线性积分 --- 凸积分（convex integral）. 这类积分的几何基础仍为单调测度，看成可测函数空间上的泛函是正齐次、单调增加和次可加的泛函（即为单调凸泛函），并且满足根据风险度量理论提出的次线性期望的基本公理性质。这正是我们研究设想中要定义的新的积分。我们证明了凸积分的基本性质，揭示了凸积分与Choquet积分的关系，利用容度的核（core）上的概率测度确定的积分族刻画了凸积分。为深入研究凸积分的性质，我们利用凸积分与凹积分的对偶关系，进一步研究了凹积分的性质。在单调测度为次可加的条件下证明了凹积分（concave integral）与泛积分（pan-integral）的等价性；在次可加和下连续的条件下，证明了泛积分的Holder 不等式和Minkowski不等式。从而得到凹积分的Holder 不等式和Minkowski不等式。这样，作为凹积分的对偶，我们可得到凸积分意义下的Holder 不等式和Minkowski不等式。在次可加的条件下，我们通过凹积分定义了范数，研究了凹积分意义下的可积函数空间，得到了一系列结果。进而，我们证明了凸积分相对应的一些结果，如单调收敛定理、法都引理和凸函数空间的完备性等。我们得到了次线性期望的一种凸积分表示。. 我们还研究了有限空间上Choquet积分、凹积分和泛积分之间的关系。引入了单调测度的最小原子（minimal atom）的概念，通过最小原子的性质分别给出了凹积分和泛积分、凹积分和泛积分等价的充分必要条件。首次刻画了有限空间上这三类非线性积分之间的等价关系。从这一结果我们可进一步讨论凸积分的一些性质以及凸积分与其它非线性积分之间的联系，从而为凸积分表示非线性期望创造更多有利条件。