多复变全纯函数与全纯映照以及它们所诱导的算子

本项目主要研究多复变全纯函数空间的分析性质、空间的结构和不同函数空间之间的关系，以及这些空间上的函数元素或复域上的全纯映照作为符号所诱导的算子；研究向量值调和分析与函数空间的一些问题. 同时研究多复变数的零伦全纯映照、星形映照与凸映照以及介于这两类映照之间的映照类的结构与几何性质，Alexander型定理，以及各类映照在Roper-Suffridge算子作用下的不变性。多复变全纯函数与全纯映照以及它们所诱导的算子和多复变几何函数论中的重要映照类的研究是调和分析与泛函分析结合、复分析与实分析结合的交叉课题，对进一步揭示单复变与多复变的本质差别和实现从数量值函数空间到向量值情形的拓展均具有重要理论意义。

本项目主要研究多复变全纯函数与全纯映照以及它们所诱导的算子的性质，同时运用调和分析的实变方法（帐篷空间和奇异积分的概念）研究向量值函数空间的分析与几何特征。在全纯函数所诱导的算子方面，我们给出了复单位球的Qp空间上的Riemann-Stieltjes算子和点态乘子的有界性与紧性的必要充分条件。在全纯映照所诱导的算子方面，我们找到了复单位球的Hardy空间与Bergman空间上的两个复合算子之差的本性范数的下界，利用它给出了线性分式复合算子之差为紧的必要充分条件，回答了著名复合算子专家MacCluer和Weir在2005提出的一个公开问题；还给出了复单位球的Bloch空间上复合算子的紧性的全新判据。在向量值函数空间的结构方面，对于取Banach空间值的BMOA函数，证明了关于Carleson测度特征的两个单边不等式成立分别对应于一致凸与一致光滑的Banach空间。在多复变数的全纯映照方面，本项目致力于多复变数的星形映照、螺旋映照以及准凸映照的结构与几何性质的研究。我们研究了C^n 中一类有界凸的Reinhardt 域D_M上正规化双全纯完全准凸映射的齐次展式问题. 建立了D_M上完全准凸映射的分解定理。在二次项系数，星形映照的凸半径，以及各类映照在Roper-Suffridge算子作用下的不变性等方面也给出了一些新的结果。本项目属于多复变调和分析与几何函数论的交叉前沿领域，其中许多有待解决的问题对进一步揭示单复变与多复变的本质差别具有重要意义。