相关于微分算子的函数空间和算子问题

Harmonic analysis is a very important branch of modern mathematics，the developing process of harmonic analysis is closely connected with the study of differential operators. This project is mainly devoted to study some interaction topics between harmonic analysis and differential operators. Specially, this project will study some important harmonic analysis problems related to higher order differential operators. These include: establishing an L^p theory of the Riesz transforms and square operators associated with the higher order differential operators; giving some characterizations of Hardy spaces and its dual BMO and predual VMO spaces associated with the higher order differential operators; investigating the characterizations of the L^p boundedness and L^p compactness for the commutators of composite operators by differential operators and the singular integral opetators. In the process of investigating project, we will establish some basic estimations of the heat semigroups and its higher order gradient oprators family of the higher order differential operators. Thses estimations are not only the keys in the study of this project, but also will be applied in investigating spectral multipliers and extension of semigroup related to differential operators. Furthermore,the study of this project is natural development of the classical singular integrals and function spaces theory as well as a promotion in investigating differential operators and partial differential equations.

)：调和分析是现代数学的重要组成部分，其发展过程与微分算子的研究密切相关。本项目主要探讨调和分析与微分算子领域的若干交叉主题，特别地, 我们将研究相关高阶微分算子的一些重要的调和分析问题，其中包括建立与高阶微分算子相关联的Riesz 变换和平方算子的L^p理论、给出Hardy空间及其对偶BMO空间和前对偶VMO空间的刻画，以及微分算子与奇异积分的复合算子交换子的L^p有界性及紧性特征等。在项目的研究中，我们将建立高阶微分算子的热半群及其高阶梯度算子族的一些基本估计。这些估计不仅在本项目研究中起关键作用，同时将在谱乘子、半群延拓等微分算子自身问题的研究中得到应用。本项目的研究不仅是经典奇异积分与空间理论研究的自然延伸和发展，同时也将推动微分算子和微分方程理论的研究。

微分算子和微分方程在调和分析的发展过程中具有非常重要的作用。在本项目资助下，我们研究了相关高阶微分算子及微分方程的某些调和分析问题, 获得了一些重要的研究成果。主要如下：（1）建立了带Kato位势的高阶椭圆算子H生成的Schrödinger型半群的Gaussian上界估计，得到了算子H的L^p谱独立性；给出了带非负局部L^p位势的高阶Schrödinger 型算子的极大和极小闭形结构；建立了相关于带一般符号位势的Schrodinger算子的Riesz变换L^q有界性；建立了相关于高阶Schrödinger型算子的Hardy空间，给出了这类Hardy空间的特征刻画。（2）给出了分数次微分算子交换子的L^p有界、Morrey 空间有界、(L^\infty, BMO)和（L^1，弱L^1）有界的充要条件；给出了带复可测系数的二阶散度型椭圆算子Kato平方根与Lip函数生成交换子的L^p有界性和梯度估计；给出了相关分数次微分算子和BMO-Sobolev函数生成的交换子L^2有界性的核函数最佳范围。（3）给出了有界C^1区域上带一般A_p权的加权L^p边值Laplace算子的Neumann问题的唯一可解性；建立了相关于一类广义色散方程解的极大估计，得到了这类方程解的点态收敛性。（4）证明了通过平移和旋转分别定义的两个L^1-Dini条件相互等价，得到了带L^1-Dini核的奇异积分弱（1,1）界的极限性质。（5）给出了Christ-Journe型Calderon交换子在二维空间的加权弱（1,1）有界性；得到双线性算子及其交换子在乘积Morrey上的有界性及紧性；建立了双线性算子交换子的极大算子在乘积L^p空间上的紧性。（6）引入了相关于多线性算子族的消失Carleson 测度，给出了消失Carleson 测度的特征刻画，建立了仿积算子的L^2紧性；证明了一类帐篷空间的前对偶是消失Carleson 测度, 完备了著名数学家Coifman-Meyer-Stein的结果。（7）证明了相应于带粗糙核的截断奇异积分算子族的跳及变差不等式，此结果本质地改进了Jones-Seeger-Wrigh的著名结果。