函数空间上Toeplitz 算子相关问题

The operator theory and operator algebra on function spaces have obtained rich achievements which greatly promoted the development of functional analysis and function theory in more than half a century. Toeplitz operators are of importance in connection with a variety of problems in other field. Furthermore, Toeplitz operators constitute one of the most important classes of operators and they are fascinating examples of the fruitful interplay between such topics as operator theory, function theory, and the theory of Banach spaces as well. Closely following the progress of related subjects on the Bergman space, the project devotes to study the problems of the complex symmetry and the kernel of Toeplitz operator on the Hardy space and the commutativity and finite rank commutator of Toeplitz operators with harmonic symbols on the harmonic Bergman space and the reducing subspace and commutant algebra of Toeplitz operator with finite Blaschke product on the Dirichlet space. As a positive result, this project will rich and perfect the research contents of operator theory and function theory as well as provide concrete models and methods for similar problems on other function spaces.

函数空间上的算子理论和算子代数在大半个世纪以来产生了丰富的成果，极大的促进了泛函分析和函数论的发展。Toeplitz 算子不仅与其他学科中很多问题有着重要的联系，而且是算子理论中研究相对深入和充分的一类算子，是算子论、函数论与 Banach 空间理论交叉作用的典范。本项目紧跟目前 Bergman 空间等解析函数空间上相关课题所取得的成果，研究经典 Hardy 空间上 Toeplitz 算子的复对称性问题和 Toeplitz 算子核的问题，调和 Bergman 空间上调和符号 Toeplitz 算子的交换性和有限秩换位问题， Dirichlet 空间上有限阶 Blaschke 积符号 Toeplitz 算子的约化子空间和换位代数问题，此将丰富和完善算子论和函数论的研究内容，并为其他函数空间上类似问题的研究提供具体模型和方法。

本课题考察了Toeplitz算子理论若干问题，主要在下面三方面展开了研究。.1. 复对称算子的研究，源于对算子本身结构研究，其在物理中也有很重要的应用。由Garcia 和Putinar 2006年开始系统研究复对称算子以来，对于复对称算子的抽象结构理论和函数空间上经典算子的复对称性的研究，成为了近几年算子论方向的研究热点并产出了丰富的成果。Toeplitz算子为算子论的经典研究对象，本课题研究经典Hardy空间上的Toeplitz算子的复对称性，给出了一大类复对称Toeplitz算子，并证明了一类三角符号和另一类非三角符号的Toeplitz算子的复对称性，这是在具体算子复对称性研究中取得的少有的结果，极大地促进了Toeplitz算子在其它函数空间上复对称性的研究。.2. 单位圆盘Hardy空间上的Toeplitz算子具有Coburn定理：Toeplitz算子和其共轭算子（也是一个Toeplitz算子）必有一个的核空间为零，即必有一个为单射。Coburn定理在研究Toeplitz算子的可逆性、谱和本质谱方面具有重要的应用。双圆盘Hardy空间上的Toeplitz算子不一定有Coburn定理成立。本课题探讨双圆盘Hardy空间上一大类的Toeplitz算子何时具有Coburn定理，给出了充分条件，为Toeplitz算子核的结构研究和可逆性的进一步研究提供了理论基础。.3. 2007年Sarason系统的研究了模型空间上截断Toeplitz算子的性质，引起了众多数学工作者的关注和研究, 极大的推动了函数论和算子论的深入发展。每个截断 Toeplitz 算子是复对称的，从酉等价的角度，截断 Toeplitz 算子被视为可能是研究复对称算子的模型, 可见研究截断 Toeplitz 算子的重要性。本课题研究了模型空间上两个截断Toeplitz 算子有限秩换位的秩的问题，通过考察换位子核的结构，分别刻画了有限维及无限维模型空间上一类内函数为符号截断 Toeplitz 算子的有限秩自换位的秩，促进了截断Toeplitz 算子的有限秩换位的研究。