调和分析及其应用

调和分析是现代数学的重要组成部分，调和分析的思想与方法已成为偏微分方程等数学领域中重要的工具。本项目组将在已有的调和分析理论及其在偏微分方程中的应用的基础上，拟深入研究积分核的低正则性下抛物型和变量核的奇异积分算子有界性；建立在多参数结构下积分核低正则性的奇异积分算子及带旗核的奇异积分算子的实变理论；给出在低正则性下积分算子交换子有界性和紧性的特征刻画；发展一套高维Hardy算子及一类振荡积分算子的实变理论；建立超奇异双Hilbert变换及正规李群上奇异积分算子的有界性；研究多线性算子的各类有界性问题。应用调和分析的理论和方法研究非线性色散方程的适定性、散射理论及低正则性问题与流体动力学方程的数学理论，建立Quaternionic Heisenberg群上相关于波方程的广义Strichartz不等式，并研究调和映照热流弱解的正则性。

项目组深入研究了各类粗糙核积分算子（沿子流形的粗糙奇异积分算子、Littlewood-Paley算子、振荡积分、Carleson 型极大算子等）的有界性及加权有界性问题，其中一些结果改进了E.M.Stein的工作；系统研究了低正则性积分核的奇异积分算子（抛物型奇异积分、变量核奇异积分、超奇异积分等）交换子在几类函数空间上的有界性和紧性特征，本质改进并推广了Calderon的结果；建立了高维Hardy算子（及Hausdorff算子）的实变理论并将Christ-Grafakos关于Hardy算子不等式的最佳常数推进到加权情形；得到了高维超奇异双Hilbert变换的有界性；给出了多线性积分算子及其交换子的有界性。作为调和分析理论和方法的应用，首次建立了相关于一般可测复系数的高阶齐次椭圆算子的Riesz变换和Hardy空间理论；研究了几类非线性色散方程和带高频振荡初值可压 Navier-Stokes方程的适定性，改进了Danchin的结果；系统研究了四元数Heisenberg群上的调和分析问题并建立了关于波方程的广义Strichartz不等式；给出了紧Riemannian流形上热流方程强解的衰减估计。