反射随机微分方程遍历理论及相关问题的研究

The project is devoted to properties of the solutions of reflected SDEs. The research contents are as follows:..We will consider reflected SPDEs with singular drifts. We already proved the existence and uniqueness of the solutions and we will try to establish the existence and uniqueness of invariant measures. Furthermore, moderate deviation principle will be studied...Meanwhile, we will move to perturbed Skorohod equations and perturbed reflected diffusion processes forced by degenerate noises. For one dimension case, we try to show the existence and smoothness of distributional density on account of Bismut’s approach about the Malliavin calculus with jumps. For n-dimensional degenerate case, under suitable Hormander conditions, the existence and smoothness of density will be verified.

本项目主要研究反射的随机微分方程解的一些重要性质。研究内容如下：..考虑带奇异项的双边反射非线性随机偏微分方程。讨论解的遍历性，验证中偏差原理。对于反射随机微分方程，目前没有关于中偏差的讨论，本项目需要找到合适的方法处理反射项。..同时，考虑退化噪声驱动的摄动的Skorohod方程和摄动的随机反射扩散过程。先讨论一维的情形，试利用Malliavin分析工具处理摄动项和反射项，证明Levy噪声驱动的这一类过程密度的存在性和正则性。然后讨论高维退化噪声的情形，有技巧的定义摄动项，在满足适当的Hormander条件时，证明密度的存在和正则性。

随机微分方程有效地连结着数学领域中许多分支，并在数学及其它众多领域有广泛的应用。我们主要关注随机微分方程理论中解的一些重要的性质，特别是解的长时间行为和解的密度正则性这类热点问题。..根据研究计划，我们深入讨论了随机偏微分方程解遍历性，包括带奇异项的双边反射随机偏微分方程接的不变测定的存在唯一性、一类随机偏微分方程的中心极限定理和中偏差原理。中篇差的估计不仅显示收敛速度，而且是构造渐进置信区间的一个有效方法。..同时，本项目还考虑了具有一般形式的高维反射随机微分方程，这类方程包含摄动的随机反射扩散方程。我们利用Malliavin分析工具证明了这类方程解的密度的存在和正则性。对于反射理论，有许多基础性的问题还不清楚，还处于研究的初级阶段，因此，对于带反射的随机偏微分方程解的密度的研究具有一定的理论意义。.