随机微分方程概周期解和遍历解

概周期函数和概周期微分方程在物理、生物、控制论以及神经网络等研究领域中有着广泛的应用，因而一直是人们关注的重要研究对象。指数型二分性在概周期微分方程理论的发展中起着非常重要的作用。确定性微分方程的指数型二分性理论已比较成熟，而对随机微分方程指数型二分性理论的研究则比较少。在关于随机微分方程概周期解及几乎自守解的存在性的已有结果中，都假定方程的线性部分是指数型稳定的。如果能够把在指数型稳定性条件下成立的结论推广为在指数型二分性条件下成立，那么将具有非常重要的理论意义与应用价值。本项目拟系统研究随机微分方程指数型二分性理论；进而利用指数型二分性研究仿射随机微分方程、半线性随机微分方程、拟线性随机微分方程的随机概周期型解和随机几乎自守解的存在性问题；研究概周期型（包括概周期、渐进概周期、弱概周期和伪概周期等）微分方程和随机微分方程遍历解的存在性、唯一性与稳定性问题。

回复现象是自然界、工程领域和人们日常生活中的典范行为，因此具有回复性质的运动的适定性和稳定性研究是微分方程定性理论和动力系统研究中的一个基本和非常重要的课题。本项目完成学术论文21篇，已发表的16篇论文中有多篇被SCI检索，发表英文专著一部，另有两部英文专著将于2017年春季出版。我们研究了一类非自治随机发展方程的随机几乎周期解的存在唯一性及其全局渐近稳定性；建立了一类自治随机发展方程的随机几乎自守解的存在唯一性质，并讨论了解的渐近稳定性；研究了一类抽象非自治发展方程的几乎周期解的存在唯一性，并给出了其均方渐近稳定性分析；研究了依概率渐近几乎周期函数的重要性质，并利用该性质证明了一类随机微分方程的几乎周期解的存在性；研究了一类半线性随机积分－微分方程几乎自守温和解的存在唯一性和稳定性；利用几乎周期函数和指数型二分性的性质研究了一类随机积分-微分方程的几乎周期解的存在唯一性；研究了一类广义洛伦兹系统的不变代数；给出了斯特林公式余项的完全单调性的一个证明等等。综上，我们利用随机指数二分性质和Ito随机分析技巧建立了几乎自守随机过程理论，在一定程度上发展了度量空间上的随机回复运动的理论。这些问题的研究，不仅有助于我们深刻理解这些具有重要应用背景的系统的整体动力学行为，而且对深入理解和研究无穷维随机微分方程和无穷维随机动力系统也会有重要的帮助。