几类泛函随机微分方程的遍历性

Functional stochastic differential equations (SDEs) are stochastic dynamical systems, in which the state spaces depend on the past. Such equations have wide range of applications in life science, system science, engineering, etc. Over the past half-century, the study on solution processes and segment processes for functional SDEs has gained great development. However, the existing results on solution processes are more rich than those on segment processes. With contrast to stochastic dynamical systems without memory, the long-term behavior of functional SDEs is not yet complete. In this proposal, we shall investigate existence and uniqueness of invariant measures and exponential ergodicity for dissipative and non-dissipative functional SDEs, which cover SDEs with variable delays and neutral functional SDEs driven by Brwonian motions as well as functional SDEs subject to jump processes. Also, we shall study the applications of ergodicity in investigation on averaging principles and hypercontractivity of semigroups generated by segment processes for (two-time-scale) functional SDEs.

泛函随机微分方程是一类依赖于“过去”的随机动力系统，此类系统在生命、工程、系统科学等领域具有非常广泛的应用. 在过去的半个世纪，泛函随机微分方程在解过程以及“片段”过程的研究均得到了一定程度的发展. 然而，在解过程方面的研究成果要比“片段”过程丰富得多．相对于状态空间不依赖于“过去”的随机动力系统，泛函随机微分方程的“片段”过程长时间行为的研究还很不完善. 在本项目中, 我们将研究耗散型与非耗散型泛函随机微分方程(如布朗运动驱动的变时滞随机微分方程、中立型泛函随机微分方程、跳过程驱动的泛函随机微分方程等)不变测度的存在性、唯一性以及指数遍历性. 另外，我们还将研究遍历性在讨论(两时间尺度)泛函随机微分方程的平均值原理以及“片段”过程所生成马氏半群的超压缩性等问题中的应用.

泛函随机微分方程是一类严重退化的随机动力系统，其在金融、保险、控制论等中有及其广泛应用. 但其片段过程长时间行为的研究却鲜有涉及，本项目主要研究了几类泛函随机微分方程的遍历性，讨论了随机泛函(偏)微分方程的片段过程所生成半群的超压缩性并研究了遍历性在随机生物系统中的应用. 在本项目的资助下，主要取得以下成果：.1、利用耦合方法研究了随机泛函(偏)微分方程的片段过程所生成半群的超压缩性并用其讨论片段过程的遍历性(如全变差意义下、entropy-意义下、 -意义下的遍历性)；.2、 利用Khasminskii平均原理，对一类 alpha-稳定型过程驱动的随机偏微分方程建立了强极限定理；.3、利用主特征值方法，研究了随机扩散过程数值不变测度的存在唯一性，并揭示了步长趋于零时数值不变测度在Wasserstein-距离下收敛于精确解的不变测度；.4、利用随机扩散过程的遍历性理论，研究了一类随机predator-prey模型的持久性与灭绝性；.5、通过构造新的辅助函数，给出了一类随机反应扩散方程解在有限时间内爆炸的充分条件...在本项目的资助下，发表SCI学术论文7篇.