Levy过程驱动的随机偏微分方程的遍历性及相关问题

Stochastic partial differential equation (SPDE) is one of the most important and hottest research topics of stochastic analysis, espically those dealing with hydrodynamics. Research on this kind of SPDEs is of great importance for not only pure mathenatics but also for solving practical problems. In this project, we are going to investigate the dynamic behaviors of fluid affected by both continuous and discontinous noise. This reseach is not only important for hydrodynamics itself, but also for better understanding and hence further reseach on infinite dimensional dynamics. Specifically, following problems will be investigated in this project: (1) Malliavin calculus for stochastic differential equations. (2) Ergodicity, functional inequalities and large deviation principles for SPDEs driven by Levy noise. (3) Ergodicity, exponent ergodicity, functional inequalities, Malliavin calculus and large deviation principles for stochastic Burgers equations and 2D stochastic Navier-Stokes equations driven by Levy noise. (4) The existence of weak solutions, Markov solutions and ergodicity of the solutions for 3D stochastic Navier-Stokes equations by Levy noise, and the existence, uniqueness and the properties of the solution for 3D stochastic tamed Navier-Stokes equations by Levy noise. (5) Looking for white noise functional solutions for stochastic integrable systems.

随机偏微分方程是随机分析研究的重点和热点问题之一，尤其对涉及流体力学等有深刻物理背景的随机偏微分方程的研究，既有重要的理论价值，又有实际意义。本项目主要研究流体同时受连续和间断两类噪声影响系统的动力学行为，这对流体力学研究有重要意义，对理解和研究无穷维随机动力系统也有帮助。本项目研究的问题有：（1）随机微分方程的Malliavin分析，为研究随机偏微分方程遍历性作准备。（2）Levy过程驱动的偏微分方程的遍历性、泛函不等式和大偏差等。（3）Levy过程驱动的Burgers方程和二维Navier-Stokes方程的遍历性、指数遍历性、泛函不等式、Malliavin分析和大偏差等。（4）Levy过程驱动的三维Navier-Stokes方程弱解的存在性、Markov选择和遍历性等；三维随机Tamed Navier-Stokes方程解的存在唯一性及性质。（5）发展随机可积系统的求解法。

随机偏微分方程(SPDE)是概率论和随机分析的重要的研究领域之一，它与流体力学、量子场论、统计物理、动态规划、计算数学、生物数学、随机控制、数理金融学、滤波及气象预测预报等众多领域有着深刻的联系，并在这些领域中获得了广泛的应用，因此，随机偏微分方程一直受到概率论和偏微分方程等领域的专家和学者的高度重视。. 本项目主要研究了一下问题：Lévy过程驱动的二维随机Navier-Stokes方程解的指数渐进性，Lévy噪声驱动的一般随机偏微分方程对应的Kolmogorov算子的性质及其对应的Fokker-Planck方程解的存在唯一性；Lévy噪声驱动的随机Burgers方程解对应的Fokker-Planck方程解的存在唯一性； -稳定过程驱动的随机耗散方程的遍历性，Lévy-Poisson泛函最大值过程转移函数的正则性及稳定过程驱动的随机微分方程解的最大值过程密度函数的存在性；一般可测空间上一般随机多孔介质方程解的存在唯一性；在一致Hormander条件下，一类隶属Brown运动驱动的带马氏切换随机微分方程解的光滑密度存在性；分数 Brown 运动驱动带马氏切换的随机微分方程解的密度存在性；带记忆的随机热方程的大偏差的研究。同时，我们还研究了一种用于监控变差系数的新型指数加权移动平均控制图；针对高维线性回归的经验似然方法；基于秩的高维回归系数得分检验；离散截断幂律分布，并将其应用于网络攻击数据的研究。. 成果“随机偏微分方程中若干前沿问题的研究”获教育部高等学校科学研究优秀成果奖二等奖 (证书编号：2015-109，获奖人：谢颖超，董昭，刘伟，陈彬)，2016。