地图理论研究：正则、半正则凯莱地图以及地图的外对称

Our research for map theories is divided into two main aspects. The first one is the proof of existence and classification of regular and half-regular Cayley maps.We will consider the following problems: Prove the existence of regular Cayley maps for some finite groups; classify all the regular Cayley maps under the condition of existence; prove or disprove the existence of regular t-balanced Cayley maps of some finite groups;enumerate the half-regular Cayley maps of cyclic and abelian finite groups.The second is about the external symmetries of regular maps. The problems are as follows:Construct the (n,m)-type regular maps with largest exponent groups; prove the existence of (3,m)-type regular maps with largest exponent groups, where 6｜(m-a) and the integer a cann't be 1 and -1;construct (k,k)-type self-dual and self-Petrie-dual regular maps;prove or disprove the existence of self-dual and self-Petrie-dual regular normal Cayley maps of even valency.

本课题主要从两个大的方面来研究和发展地图理论。一方面是正则、半正则凯莱地图的存在性证明和分类等，主要研究课题包括：某些有限群正则凯莱地图的存在性证明；在正则凯莱地图存在的前提下，分类这些地图；某些有限群t-正则凯莱地图存在性证明；循环群、交换群等有限群半正则凯莱地图的计算。另一方面是对正则地图的外对称性研究，主要研究内容包括：构造具有极大指数群的(n,m)-型正则地图；证明具有极大指数群的(3,m)-型有限正则地图的存在性，这里6｜(m-a),其中a是不取1和-1的整数；构造(k,k)- 型自对偶且自Petrie对偶的正则地图；验证是否存在偶数度正则、自对偶且自Petrie对偶的正规凯莱地图。

本项目是主持人基于多年来关注地图理论并且做了若干工作的基础上组织起来的，项目的主要研究内容是正则、半正则凯莱地图以及地图的外对称。在过去的四年研究期限中，我们彻底研究了拟本原群作为正则地图（包括可定向以及不可定向）自同构群出现的各种情况：完全分类了仿射型拟本原群作为正则地图的自同构群，构造了其它几类拟本元群作为正则地图自同构群的各种可能情形的地图族类。我们完全分类了极小非交换亚循环群和具有循环极大子群的p 群的中心对称正则凯莱地图，给出了低阶循环群的正则、半正则凯莱地图。众所周知，数学中分类问题是比较困难的，正则地图的分类问题尤其困难，目前这方面的结果比较少，我们的结果不仅丰富了地图理论而且对于理解特定群在地图上的作用起到非常大的帮助。. 除了地图理论的成果，课题组成员还在群论和图论的其它问题中有很大收获。我们在有限群子群的正规性、子群的指标集合对于群结构的影响，图的指标计算以及多部竞赛图的分离圈等方面都取得了一些结果。