正则Cayley地图与点传递图的Hamilton性

This project focus on two hot topics in algebraic graph theory, that is, regular Cayley maps and the hamiltonicity of vertex-transitive graphs. On the regular Cayley maps, systematic studies for the t-balanced case have been done in literatures. However, to perfect the theory of regular Cayley maps, the non t-balanced case should not be skipped. We shall study the the general theory of regular Cayley maps which are not t-balanced. We will give some characterizations and constructions of such maps. Particularly, we will do deep researchs on such maps for abelian groups. We will classify regular Cayley maps of some common groups such as elementary abelian groups, dihedral groups and so on. On the hamiltonicty of vertex-transitive graph, no major breakthrough has been achieved since the presenting of Lovasz problem in 1969, and the reseach on this area is now commonly accepted to be very hard. Therefore we merely do reseachs on some classes of graphs. We will study the hamiltonicity of vertex-transitive digraphs of prime power order and some Cayley graphs on dihedral groups and metacyclic groups.

本项目拟研究代数图论中的两个热点问题：正则Cayley地图和点传递图的Hamilton性。关于正则Cayley地图，文献中已经对t-平衡的情形有了系统研究。然而，要使正则Cayley地图理论更加完善，对非t-平衡情形做些研究是不可避免的。我们将研究正则非t-平衡Cayley地图的一般理论，给出正则非t-平衡Cayley地图的一些刻画及构造方法。特别地，将对交换群的正则非t-平衡Cayley地图做些深入的研究。还将分类一些常见有限群(比如初等交换群、二面体群等)的正则Cayley地图。关于点传递图的Hamilton性，从1969年Lovasz问题的提出到现在，还没有重大的突破性成果出现，因此这方面的研究已经被公认非常困难，我们也只能针对某些图类做些研究。将研究素数幂阶连通点传递有向图的Hamilton性，以及广义二面体群和亚循环群的一些连通Cayley图的Hamilton性。

正则Cayley地图不但可以为图的正则嵌入提供例子，丰富正则地图理论，而且其本身也有较高的研究价值。点传递图的Hamilton性在代数图论中是公认的重要且困难的课题。本项目在这两个方面做了一些工作。给出了二面体群的正则Cayley地图的一些分类，在分类的过程中引进了skew-morphism的skew-type, core等概念，为非t-平衡Cayley地图的研究提供了一些理论支持。对群的skew-morphism理论本身也做了些研究，特别是解决了Conder提出的一个公开问题。 在点传递图的Hamilton性方面，证明了素数的5次幂阶的点传递有向图一定存在Hamilton圈。