凯莱图、对称图与曲面上的地图

Mathematical objects involved in this project include groups, graphs and surfaces;in particular, it is proposed to study symmetrical graphs and group actions on graphs and surfaces. Increasingly, symmetrical graphs are being used in a wide range of applications: from the mixing rate of Markov chains to the design of interconnection networks for large interacting arrays of processors in parallel computations, from group-based cryptography, to the graph isomorphism problem (of relevence to computer science and to chemical documentation). Studying transitive graphs will therefore significantly impact on many fundamental problems in different areas...This project proposes to study several important topics regarding symmetrical graphs, including (1) investigating expansion property of symmetrical graphs;(2) studying normal covers of s-arc transitive graphs;(3) classifying amalgams of locally s-arc transitive graphs; (4) characerizing edge transitive maps on Riemann surfaces. It aims to solve fundamental problems regarding these topics, and to make significant and breaking progress and to develop useful theory for all of them, and then applying the comes to solve important problems in other areas.

本项目所涉及的数学对象包括图，群和曲面；特别地，研究对称图及群在图上和曲面上的作用。近年来，对称图在越来越多的领域里找到了应用：从马尔科夫链混合率，到并行计算中处理器的大型相互作用阵列的通信网络的设计，从基于群论的密码学，到与计算机科学和化学文档相关的图的同构问题。因此，研究传递图对不同领域里的众多重要问题有深刻影响和应用。..本项目计划研究有关对称图的几个重要课题,包括（1）研究边传递图的扩展性质；（2）研究s-弧传递图的正规覆盖；（2）刻画局部s-弧传递图的融合体；（4）刻画黎曼曲面上的边传递地图。其目的是解决有关这些课题的若干个重大问题，在每个课题上取得突破性进展并发展有用的理论，并把得到的结果应用于解决其它领域里的重要问题。

本项目所涉及的数学对象包括图，群和曲面；特别地，研究了对称图及群在图上和曲面上的作用。近年来，对称图在越来越多的领域里找到了应用：从马尔科夫链混合率，到并行计算中处理器的大型相互作用阵列的通信网络的设计，从基于群论的密码学，到与计算机科学和化学文档相关的图的同构问题。因此，研究传递图对不同领域里的众多重要问题有深刻影响和应用。.项目组按照计划研究了有关对称图的以下几个重要课题,得到了以下重要结果，包括（1）分类了一个因子是可解群的几乎单群的因子分解，为研究可解群上的凯莱图提供了有效的工具；（2）系统地研究了有向对称图的局部性质和整体结构，对这类图有了更清晰的理解，并构造出点本原的有向2-弧传递图；（3）在群的特征表和融合系方面做出了很好的工作，建立了计算群的轨道指标公式，找到了计算单模数的一个新方法。给出了判定p-群的饱和融合系的幂零性的判定准则，为研究p-群上的饱和融合系提供了方法；（4）系统的研究了亚循环图，特别是边传递亚循环图，得到了丰富的分类结果，比如，边传递的点本原亚循环图，和几类边传递的二面体图；由此发现了若干新的重要图类。这些成果大大推广了前人的结果，为研究亚循环图类提供了新的方法；（5）利用几乎单群的极大因子分解的分类结果，我们刻画了局部s-弧传递完全二部图的自同构群及其作用，从而完善了李才恒与Praeger和Giudici关于局部传递图的整体分析理论，为研究完全二部图的s-弧传递覆盖奠定了基础；（6）建立了研究二部边传递有向地图理论。其中，地图的正规商诱导了相应曲面的覆盖，其分歧点可以由对应的正规子群的作用计算出来，为研究这类地图和曲面覆盖问题提供了工具。 .本项目基本按照研究计划展开。在过去的五年里，项目进展顺利，解决了群论，代数图论，和网络理论中多个重要问题，对几个重大问题有了突破性进展。项目组共发表SCI收录期刊论文83篇，培养博士后3名，培养博士生18名，硕士生15名， 举办学术会议7次。