矩阵和群论方法在量子边界问题中的应用

Many important and interesting questions arise with the development of quantum information theory. In this project, we concern with quantum marginal problems in two-partite and multipartite quantum systems. The main research contents of the project include:.(1) In two-partite systems, find the range of rank of the global states when the two marginal states are given, and characterize the relation of their rank. For given marginal states, if the global states are not pure, discuss the closeness between global and pure states. On this basis, study the related problems on multipartite systems..(2) For current results about the computation of Kroneckr coefficient, give their explanations in quantum marginal problems, and generalizes the current results simultaneously. Study the relations between quantum marginal problems and Kronecker coefficients, such as find new methods for the computation of Kronecker coefficients through the study of spectral problems in quantum marginal problems..(3) Investigate the applications of quantum marginal problems, group and matrix techniques in quantum information theory. For example, on the strength of quantum marginal problems, find new methods to characterize the entanglement of quantum states; obtain new entropy inequalities benefited from the comprehensive study of Kronecker coefficient, techniques in matrix and group theory.

随着量子信息论的发展,产生了一系列重要而有趣的问题。本项目所关注的是两体及多体系统中的量子边界问题。本项目的研究内容主要包括:.(1) 在两体系统中，对任意给定的两个边界态得到整体态秩的取值范围，刻画它们之间秩的关系。给定边界态时，如果整体态中不存在纯态，此时研究整体态与纯态的接近程度。在此基础上研究多体情况下的相关结果。.(2) 把目前已有对 Kronecker 系数计算的结果给出在量子边界问题中的解释，同时推广已有计算方法。研究 Kronecker 系数与量子边界问题的相互关系，如通过量子边界问题中谱的研究来寻找 Kronecker 系数计算的新方法。.(3) 研究量子边界问题以及群论和矩阵方法在量子信息论中的应用。如寻找利用边界态的性质来刻画整体态纠缠性的新方法，综合运用对 Kronecker 系数的研究，矩阵论以及群表示论中的技巧得到新的熵不等式等。

本项目主要研究了对称群表示论中的Kronecker系数的性质与计算。首先，项目在Saxl猜想的研究上取得了一定的进展。证明了随着阶梯形状的上升，与阶梯状分拆在优超序下可比较的分拆的比例趋于零。这反映了Ikenmeyer的判定准则用来判定非零的Kronecker系数时的效率。利用半群性质，证明了Durfee数为3的分拆满足Saxl猜想。其次，项目研究了一般线性群的经典表示理论。讨论了矩形Kronecker系数与3阶张量的不变量之间的关系。构造了两类极小一般基本不变量。讨论了两类不变量在一些重要张量上的取值，如矩阵乘法张量和单位张量。由此讨论了高维的拉丁方的一些基本性质，例如，拉丁立方的计数，3维的Alon-Tarsi问题等。最后，项目研究了对称群的不可约特征标的非零取值与非零Kronecker系数的关系。. 这是一段精彩的旅程，这为我们接下来对相关方向的探索提供了宝贵的经验。