群论方法在球对称量子少体问题中的应用

量子少体问题的研究是当前理论物理前沿热门课题，为丰富和发展量子理论提供了理论基础。我们已提出广义球谐多项式的方法，成功实现了三维空间量子N体系统中转动自由度与内部自由度的完全分离。该方法对数值计算工作量的简化已得到很好的检验。在已有研究成果的基础上，我们将运用群论的方法分析任意D维空间量子N体系统转动自由度分离时出现的种种复杂情形, 找到角动量本征函数基的普遍表达式，探讨不同维数间量子态简并的本质及其应用, 确立广义球谐多项式方法在任意维空间少体系统中的基本理论；根据谐振子径向方程非整数Maslov指标问题的研究方法，找到一般形状不变势中各类修正项与WKB半经典理论及量子化条件最新表述方式之间联系的基本规律；在数值计算的基础上，研究量子少体系统中的广义Sturm-Liouville 定理存在的可能性；探讨群论方法在少体系统及相关物理问题中的应用。

量子少体问题是当前理论物理研究的前沿课题之一， 它在很多领域都有广泛应用。 WKB 方法是处理量子力学问题时有效的近似方法。三维中心势场的定态 Schrödinger 方程在分离变量后也成为一维问题，即单变量方程。但此时应用WKB方法，必须作 Langer 修正，才能得到正确的结果。本研究指出在用量子化条件新的表述方式处理这一问题时可以完全不用引入任何修正。我们分析其根本原因，提供了研究 Langer 修正与 Maslov 指标问题可供参考的一种新思路，并用新的方法推导出三维空间非整数 Maslov 指标的具体形式。在此基础上，我们运用量子化条件新的表述方式研究了 Hulthen 势等量子体系，严格推导出能级的精确表达式，得到了一系列很好的结果。对量子化条件从 Bohr - Sommerfeld 半经典形式到目前新的表述方式的发展过程，特别是新的表述形式在可解量子体系中应用时遇到的种种复杂情形如何具体处理我们作了系统总结，对进一步研究的方向我们也作了理论分析。