分数阶系统的脉冲混沌动力学及稳定性

Fractional calculus deals with derivatives and integrations of arbitrary order and has found many applications in many fields. Impulse is universal phenomenon in some system due to the instant disturb. But the study of fractional order with impulse is far few. For the severe shortage of basic theory of impulsive differential equation, the study method of modeling dynamics such as chaotic behavior, stability and synchronization is explored by the study for impulsive system and fractional order system in the project. The main research content includes: (i) the model of fractional order system with impulse will be established, and the theory of chaos analysis of impulsive fractional order system will be discussed by the Topological horseshoe method. (ii) For the characteristic of impulsive fractional system. the stability of the impulsive fractional order system will be investigated by the piecewise Lyapunov function.(iii) Based on the results of stability analysis, the theory of synchronization in the isostructure and different structure impulsive fractional order system will be discussed by using the self-adapting method. If the predictive target is realized, the study results of the project will provide effective and advanced technology to precision modeling and studying a complex dynamic system. The bottle neck of the complex dynamic system which only described an impulsive integral-order system approximately in the past. The study of this project demonstrates the important theoretical and practical value.

实际系统通常大都是分数阶的，脉冲是事物在其发展过程中受到瞬时扰动而产生的一种普遍现象，目前对具有脉冲的分数阶系统的研究尚处于萌芽阶段。针对其基础性理论的严重不足，本项目拟结合分数阶系统和脉冲系统的研究，探索脉冲分数阶系统的建模、混沌行为、稳定性和同步等动力学问题的研究方法。主要研究内容有：(1)建立具有脉冲机制和分数阶系统特征的系统模型，并采用Topological horseshoe方法，提出适合于脉冲分数阶系统的混沌分析的理论判定依据；(2)针对脉冲分数阶系统的特点，利用分段Lyapunov方法，研究脉冲分数阶系统的稳定性；(3)利用稳定性分析结果，采用自适应等控制方法，提出同结构和异结构的脉冲分数阶系统同步理论。本课题所研究的成果将为复杂动力系统较为精确的刻画和研究提供切实有效的、先进的技术手段，解决以前只能用脉冲整数阶系统进行近似描述的瓶颈问题，有着重要的理论意义和应用价值。

本项目计划自项目资助期开始，结合分数阶系统和脉冲系统的研究，探索脉冲分数阶系统的建模、混沌行为、稳定性和同步等动力学问题的研究方法。研究内容基本上是按原计划在展开工作。由于项目组成员中含有研究生，因研究生毕业和新招研究生的存在，项目组研究成员略有变化。在项目执行期间，主要完成了以下工作：.建立了具有脉冲机制和分数阶系统特征的系统模型，通过大量的理论和实验对不同类型的脉冲分数阶系统进行了混沌分析，得到了部分系统随参数取值不同和分数阶阶次不同是否产生混沌行为的理论或实验性结果。. 针对脉冲分数阶系统的特点，利用Lyapunov函数、Lyapunov-Krasovskii函数和分段Lyapunov函数方法，研究了部分脉冲分数阶系统和其他系统的稳定性和控制问题。对分数阶系统设计了脉冲控制器，得到脉冲控制稳定性条件；对时滞分数阶混沌系统做了脉冲控制器设计，得到了系统稳定的充分条件；也研究了部分其他系统的控制问题。全部问题均做了数值仿真模拟以证实结果的有效性。. 基于稳定性研究的结果，利用Lyapunov函数和分段Lyapunov函数方法，对部分系统的同步问题做了研究。研究了不确定参数分数阶混沌系统的自适应脉冲同步问题；研究了未知参数分数阶混沌系统的自适应脉冲同步问题；研究了具有随机参数的分数阶混沌系统的自适应模糊脉冲同步问题；尝试对新构造的分数阶混沌系统，研究其线性参数未知的同结构自适应同步问题；研究了参数不确定的不同分数阶的混沌系统的自适应同步问题。全部问题均做了数值仿真模拟以证实结果的有效性。.依托本项目组已经培养毕业研究生4名，正在培养的研究生2名。