马尔科夫转换下的混杂生态动力学模型研究及应用

According to the complexity, diversity, randomness of real environment of ecosystems and life cycles, a class of stochastic hybrid models of population dynamics are established by two steps, one step is using multiple-(sub) systems to model the dynamics of population in different time (or stage) periods, the other is by Markovian chains to switch every (sub)systems. Our aims of this program are to establish a series of criteria about the stochastic persistence (permanence and extinction), stochastic stability, stationary distribution, ergodicity etc. for above stochastic hybrid population models by the theories of stochastic differential equations, stochastic processes, modern theories of differential equations, theories of impulsive differential equations, difference equations and mathematical software etc; explore the difference of dynamics between hybrid population models under Markovian switching and determinate population models; analyze the possibility that whether the dynamics will change with the switching of model types. As applications, according to the specialized ecosystems of Xinjiang, proper hybrid ecological models under Markovian switching will be established to validate the theoretical results, a series of theoretical instructions and foundations will be obtained for real protection of ecosystems, reasonable exploitation, sustianable development of ecological environment.

根据现实生态环境及种群生命规律的复杂性、多样性，随机性，通过使用多(子)系统分时(阶)段分别刻画生态种群的动态演变规律，由Markovian链在各(子)系统间随机转换(或开关)，来建立随机混杂生态动力学模型。通过随机微分方程理论、随机过程理论、微分方程现代理论、脉冲微分方程理论、差分方程理论、数学软件等作为研究方法及工具，建立系统随机持续生存性(持续性、灭绝性)、随机稳定性、静态分布、遍历性等的一系列判别准则；揭示Markovian转转下的混杂种群动力学模型与确定性种群动力学模型在动力学性质上的差异；分析种群动力学性质是否会随模型形式改变。作为应用，根据新疆特色生态系统，建立合适的Markovian转换下的混杂生态动力学模型，验证理论成果的有效性，为实际的生态系统动植物保护、合理开发，生态环境的持续协调发展提供科学的理论指导和依据。

前人对生态动力学模型研究主要使用一种确定性（或随机性）模型刻画种群的动力学行为，而由于现实环境及种群生命规律的的复杂性、随机性、切换性，种群在不同阶段随机展现不同规律，本项目通过Markov混杂模型刻画种群动力学行为。主要研究一、生态动力学模型研究方面完成：马尔科夫转换下在Logistic与Gompertz增长随机切换的混杂单种群模型，具有Markov随机切换的SIQRS模型；具有随机扰动及微分代数的捕食食饵模型；具有食饵季节交替在Logistic与Gompertz切换的混杂捕食食饵模型；具有二时滞及负反馈及Holling II型功能反应的阶段结构同类相食模型；具有竞争-捕食-合作交替变化的混杂种群模型；具有反应扩散的非自治Leslie–Gower Holling-II 捕食食饵模型；具有非自治的微生物培养模型等，得到了系统（随机）正解的存在性与唯一性及（随机）有界性、（随机）持久性、随机遍历分布、（随机）Hopf分支、平衡点（态）及周期解的存在性与（局部、全局）稳定性等的充分性判别准则。 .传染病模型方面主要完成：具有非线性发生率及接种的非自治SEIRE传染病模型；具有分布时滞及Beddington-DeAngelis （饱和）发生率、以及耐药株-敏感株混合感染的HIV模型；具有空间扩散及Beddington- DeAngelis发生率的新冠病毒传播模型；具有周期可变时滞、季节交替、年龄结构的布鲁氏病模型；具有体内外耦合传播的疾病模型；具有空间扩散及环境驱动的SIRE传染病模型；具有离散时滞及Beddington- DeAngelis发生率及治疗的肺结核模型；具有分布时滞、非线性发生率、免疫反应的乙肝（HBV）模型等，得到了系统（积分形式下）的基本再生数，疾病持久性（灭绝性），各类平衡点（态）及（概）周期解局部及全局渐近稳定性等的充分性判定准则等。