马尔可夫过程在Girsanov变换下的性质及其应用

Girsanov transform is one of the important transforms in Markov theory, Girsanov theorems play very important roles in financial mathematics, especially in option pricing theory. That will have great theoretical significance and application value to study the properties of Markov processes under Girsanov transform and their applications. Although many scholars studied the properties of Markov processes under Girsanov transform, most of their works were only about the symmetric Markov processes where Dirichlet forms methods were used. Our work mainly focused on general (non-symmetric) Markov processes and assumed they were semi-martingales. We study the transition density functions and potential analysis (including Revuz measure,enegy functional,capacity,etc.) of the Markov processes under locally absolutely continuity measures. In order to solve this problem, we adopt Markov Bridge and multiplicative functional methods. Then we will apply the results which we obtained to various option pricing models. We aim to reveal the properties of general Markov processes under general Girsanov transform, especially for the potential analysis. The results will play effectively complementary roles in Markov theory and the applications of Girsanov theorem in various fields.

Girsanov变换是马尔可夫过程理论中重要的变换之一，Girsanov定理在金融数学特别是期权定价理论中起着重要的作用，研究马尔可夫过程在Girsanov变换下的性质及其应用具有重要的理论意义和应用价值。虽已有很多学者研究了马尔可夫过程在Girsanov变换下的性质，但大都是关于对称马尔可夫过程的研究，采用狄氏型的研究方法。本项目以一般（非对称）的马尔可夫过程为研究对象，同时假设此马尔可夫过程是一个半鞅，研究此马尔可夫过程在局部绝对连续测度下的转移密度函数的表达形式以及位势分析（包括：Revuz测度，能量泛函，容量等），采用马尔可夫桥和乘泛函的研究方法，然后将这些结果应用于具体的期权定价模型中。本项目旨在揭示一般的马尔可夫过程在一般的Girsanov变换下的性质，特别是位势分析方面。本项目的研究结果将对马尔可夫过程的理论与Girsanov定理在各个领域的应用起到重要的补充作用。

Girsanov变换是马尔可夫过程理论中重要的变换之一，Girsanov定理在金融数学特别是期权定价理论中起着重要的作用，研究马尔可夫过程在Girsanov变换下的性质及其应用具有重要的理论意义和应用价值。本研究根据立题计划得到如下结果： (1) Hunt过程在Girsanov变换下的转移概率密度的表示公式。(2) 右马尔可夫过程在由 -过分函数诱导的Girsanov变换下的位势分析，包括Revuz测度,能量泛函，容度以及 Levy 系。 (3) 马尔可夫调制的几何布朗运动一般意义上的最小熵鞅测度。(4)研究了马尔可夫交换指数Lévy模型下的期权定价问题，得到了马尔可夫交换指数Lévy模型的欧式期权价格与相应的积分-微分方程之间的关系。(5) 研究了马尔可夫交换Lévy过程模型下的期权定价及其对冲。本项目的研究结果对马尔可夫过程的理论以及Girsanov变换在期权定价理论中的应用起到重要的补充作用。