图像去噪中的自适应变分模型和算法分析

Image denoising is one of the basic and fundamental problems in image processing. How to filter out noise, at the same time to preserve the edges and recover the smooth surfaces is still a valid challenge in image denoising. The classical total variation (TV) model can do very well in preserving edges and it is qualified for blocky images (of piecewise constant intensities). But for images without edges (jumps), the solution to this model has the undesirable staircasing effect. The previous high-order models such as the LLT model can recover smoother surfaces..However, such models cannot preserve sharp features such as jumps. Although the mean curvature model can consider three, since it is a nonconvex and nonsmooth high-order model, the construction of stable and fast numerical schemes is quite difficult. Our project is going to carry out in-depth study and exploration on image denoising from the construction of adaptive variational models and the design of efficient algorithms. According to the norm of the gradient which measures the appearance of the edges, we will construct the adaptive variational denoising models by introducing the minimum or maximum function between the norm of the gradient and the positive constant c (which used to distinguish the nonsmooth part and smooth part) into the regularization term, and then try to do some theory analysis for the algorithms.

图像去噪是图像处理中的一个基础而重要的问题。如何在去除噪声的同时，既保持边缘特征又恢复光滑区域仍然是图像去噪中的难点。经典的全变分(TV)模型能很好的保持边缘特征，对分片常数图像处理效果很好，但对光滑图像会引起阶梯效应。现有的高阶模型如LLT模型能很好的恢复光滑区域, 但在一定程度上会模糊边缘。平均曲率模型虽然能三者兼顾，但该模型是高阶的非凸非光滑变分模型，求解很困难。本项目拟从自适应变分模型的构造和算法的设计对图像去噪进行较为深入的研究和探索。根据图像梯度模这一鉴别边缘部分和光滑部分的重要信息，从梯度模算子和界定边缘部分与光滑部分的正常数c的min或者max函数着手, 建立二阶和高阶自适应变分去噪模型并对新建立的模型进行算法分析。

图像去噪是图像处理中的一个基础而重要的问题。随着应用技术的发展，对图像的质量、高效性和应用性提出了更高的要求。变分模型的设计和模型的求解是变分图像去噪中两个主要研究方向。经典的全变分(TV)模型能很好的保持边缘特征，对分片常数图像处理效果很好，但对光滑图像会引起阶梯效应。现有的高阶模型如LLT模型能很好的恢复光滑区域, 但在一定程度上会模糊边缘。平均曲率模型虽然能三者兼顾，但该模型是高阶的非凸非光滑变分模型，求解很困难。本项目主要做了三个工作：1. 利用图像梯度模这一鉴别边缘部分和光滑部分的重要信息，在正则项核函数中引入梯度模和界定边缘部分与光滑部分的正常数c的min函数, 建立了在图像的边缘部分为TV正则和在图像的光滑部分为L2正则的二阶自适应变分去噪模型。该模型属于半光滑半凸变分模型，具有最优解。数值实验表明二阶自适应模型收敛速度接近于L2模型，且恢复图像质量接近于平均曲率模型。 2. 在LLT模型的正则项核函数中引入梯度模和正常数c的max函数, 构造了在图像光滑部分为LLT正则的高阶自适应变分（FDA）模型。数值实验表明该模型收敛速度比TV模型的收敛速度快，且图像质量高于平均曲率模型。3.根据平均曲率和线性曲率两者之间的联系，通过梯度模和正常数c的max函数建立了在图像光滑部分为线性曲率正则而在图像光滑部分为平均曲率正则的高阶自适应变分（ACV）模型。 设计了内外双层滞后不动点迭代方法求解模型。