从Scherk曲面到Allen-Cahn方程的整体解

Allen-Cahn方程起源于相变理论，由于其与极小曲面理论的联系，一直是微分方程领域的研究热点。近年来国际上对它的研究取得了很大进展，同时也提出了新的研究课题。De Giorge猜想主要针对单调整体解，而本项目着重研究这一方程的非单调整体解。从一类特殊的极小曲面- - Scherk曲面- - 出发，利用无穷维Lyapunov-Schmidt约化和变分法等工具，我们将研究某些具有特殊几何结构的整体解的存在性并分析相应解空间的结构。 这对进一步理解Allen-Cahn方程，特别是它和极小曲面理论的深刻联系具有重要意义。

本项目主要研究了一类经典的非线性椭圆方程--Allen-Cahn方程--在低维空间中的整体有界解（定义在整个欧氏空间中的有界解），我们的主要工作集中在二维和三维空间的情形。在本项目中，我们进一步深入研究了Allen-Cahn方程和极小曲面理论之间的深刻联系。以此为出发点，我们对二维空间中具有4个end的解进行了分类，证明了一族非平凡4-end解的存在性，并研究了它们的变分特点。在此基础上，我们证明了在适当条件下，可以构造一族解，它们的零点集非常接近于给定的有限多条直线。这些解都具有有限的Morse指标。另一方面，利用无穷维Toda方程的孤立子解，我们构造了一族具有无穷Morse指标的解。最后，通过与Catenoid的对比，我们研究了三维空间中具有2个end的整体解。