非线性发展方程的整体解研究

分数阶非线性发展方程及其随机模型具有鲜明的物理背景和很好的研究前景，在最近十几年得到了快速的发展，它们在超导、量子力学、等离子体物理、生物、材料科学等其它应用科学中有着广泛的应用。目前关于分数阶偏微分方程和随机偏微分方程的解的性质研究还没有完全展开。本项目主要研究分数阶非线性Ginzburg-Landau方程、分数阶Landau-Lifshitz方程，以及它们所对应的随机模型的整体适定性与无穷维动力系统的动力学行为。所研究内容不仅是国际上十分重视的、具有前沿性和主流兴趣、有重要理论意义的研究课题，而且紧密联系应用科学和工程技术，有着广泛的应用前景。

本项目（11001285）主要研究数学物理中一些重要的非线性偏微分方程的整体解及其长时间行为，特别是具有分数阶微分算子以及随机Brown运动驱动的非线性演化方程，比较圆满的完成了该项目的研究计划，达到了预期目标。具体地，研究了分数阶Ginzburg-Landau方程的整体解以及全局吸引子的存在性，在退化噪声驱动下的随机Ginzburg-Landau方程的遍历性；研究了三维布朗运动驱动下的随机Landau-Lifshitz方程正则解的存在唯一性及其爆破性质以及分数阶Landau-Lifshitz方程弱解的整体存在性和光滑解的局部存在性等结果；探讨了MHD方程组的整体解的存在唯一性及衰减估计，等离子体物理中Euler-Poisson方程到KdV方程、KP方程以及ZK方程的极限问题，严格证明了在长波长极限下，EP方程的解到这三类色散方程的解的极限问题。这些结果发表在诸如ARMA, SIAM J.M.A., JDE, Cal. Var. P.D.E., ZAMP等重要的专业杂志上。这些问题具有深刻的物理背景，并被许多数学物理工作者所广泛关注，受本项目资助得到的上述研究结果必将促进相关问题的研究。