弹性动力学方程组解的性质研究

This project proposes to study properties of solutions to the elastodynamics equations. The research category of incompressible elastodynamics equations belong to fluid mechanics and nonlinear wave equations, so the project will combine the research techniques of fluid mechanics and nonlinear wave equations to study the properties of solutions. In particular, the project will focus on the following three aspects to study the properties of solutions of elastodynamics equations：. (1)Three dimensional elastic wave equations: Using the Space-Time resonance method developed in recent years, along with Klainerman’s generalized energy methods, the study plans to get the existence of global solutions of equations, and further understand other properties of solutions, e.g. long time behavior.. (2)Three dimensional incompressible elastodynamics: It is expected that the results are similar to those of the three dimensional elastic wave equations, also the research aims to find out the difference between them.. (3)Two and Three dimensional incompressible elastodynamics with viscous and damping: The project aims to construct a family of solutions to the system whose norms can be arbitrarily large in some sense, and analyze the influence of viscous and damping term on the equations.

本项目将研究弹性动力学方程组解的性质。不可压缩的弹性动力学方程组既属于流体力学的研究范畴，又属于非线性波动方程的研究范畴。因此本项目将结合流体力学与非线性波动方程的研究技巧，深入研究解的性质。特别地，本项目将从如下三个方面来研究弹性动力学方程组解的性质：. (1) 三维可压缩弹性波方程：运用最近几年发展的时空共振方法，结合Klainerman等人建立的广义能量算子估计方法，得到方程解的整体存在性，并进一步研究解的其他性质，如解的长时间行为。. (2) 三维不可压缩弹性动力学方程组：希望得到与三维可压缩弹性波方程类似的结论，并找出两者之间的差异。. (3) 两维与三维带有粘性与阻尼项的不可压缩弹性动力学方程组：对方程构造一类大初值整体经典解，并分析粘性项与阻尼项对方程的影响。

本项目研究了弹性动力学方程组解的性质。不可压缩的弹性动力学方程组既属于流体力学的研究范畴，又属于非线性波动方程的研究范畴。本项目结合了流体力学与非线性波动方程的研究技巧，深入研究了解的性质。我们得到了如下结果：. (1) 运用时空共振方法，结合Klainerman等人建立的广义能量算子估计方法，得到了方程解的整体存在性，并进一步研究了解的长时间行为。. (2) 研究了三维不可压缩弹性波方程与三维可压弹性波方程解的整体存在性。. (3) 研究了带有粘性与阻尼项的不可压缩弹性动力学方程组，得到了粘性与阻尼项对方程的影响。. (4)对于带阻尼的磁流体力学方程，我们得到了强解和弱解的存在性。. (5)对于弹性动力学方程组自由边界问题，我们得到了局部解的存在性。. (6)对于两维MBE方程，我们得到了解的导数估计。. (7)对于两维FENE模型方程，我们得到了解的整体存在性。. (8)对于三维TROPICAL CLIMATE 模型，我们构造了一类大初值整体经典解。