粘弹性力学方程组的整体经典解研究

This project proposes to study the global classical solutions and incompressible limit of viscoelastic systems. Viscoelastic systems are kinds of complex fluids, the research of which is very popular nowadays. The results about global classical solutions to this system are always obtained under some assumptions for initial data. Whether these assumptions can be removed attracts much attention today. This project will investigate this problem and focus on the following three aspects: . (1).Obtain the global existence of classical solutions to three dimensional compressible viscoelastic systems with general small initial data.. (2) Derive the general incompressible limit of three dimensional viscoelastic systems.. (3) Construct a class of global classical solutions to two dimensional incompressible viscoelastic systems with large initial data.

本项目拟研究粘弹性力学方程组整体经典解的存在性与不可压缩极限理论。粘弹性力学方程组属于复杂流体的研究范畴，是当前热门的研究方向。关于该方程组的整体经典解结果一般都是在初值的某种相容性假设下得到的。能否将这一假设去掉，得到一般性的结果是现在非常受关注的问题。本项目拟针对这一问题，从如下三个方面来展开研究：. （1）研究三维可压缩粘弹性力学方程组的一般小初值整体经典解的存在性。 . （2）研究三维粘弹性力学方程组的一般不可压缩极限理论。. （3）构造二维不可压粘弹性力学方程组的一类大初值整体经典解。

在本项目的支持下，我们在Adv. Math.，Calc. Var. Partial Differential Equations，J. Evol. Equ.，Commun. Math. Sci.，Math. Methods Appl. Sci.等重要的SCI期刊上发表相关学术论文。其中，一篇论文是ESI数学领域的高被引论文。研究成果多次在国内外学术会议上进行汇报与宣传。其中关于将“非线性项”看成“线性项”的思想，以及针对双曲抛物耦合型偏微分方程组提出的耗散捕获能量框架，得到了同行专家的认可。. 本项目的研究成果主要集中在关于粘弹性力学方程组解的性质研究。例如：我们提出了将“非线性项”看成“线性项”的思想，证明了三维可压缩粘弹性力学方程组的一般小初值整体解（去掉了过去的相容性假设条件）；对于速度场无粘性的三维可压缩广义Oldroyd-B模型，证明了其小初值整体解的适定性；对于应力张量带有分数阶耗散的不可压Oldroyd-B模型，证明了其小初值整体解的适定性。. 除此之外，本项目还研究了一些其他复杂流体动力学模型。与粘弹性力学方程组类似的是，它们都是双曲抛物耦合型偏微分方程组，在结构上呈现许多相似之处。我们得到了：三维混合粘性的不可压磁流体力学方程组在平衡态附近的稳定性；三维部分阻尼的Euler-Poisson Two-Fluid系统的小初值整体适定性。.最后，在对流体力学方程的大初值解的研究中，我们找到了一类可被方程保持的“锥条件”，并利用该条件成功构造了三维不可压Navier-Stokes方程的一类全新的大初值经典解。