几类非线性发展方程和方程组解的性质研究

There are a lot of nonlinear problems depending on continuous time, which came from viscoelasticity mechanics, structural mechanics and other science. In mathematics, these problems can be modeled by nonlinear evolution equations and systems. In this project, we mainly analyze the global existence and asymptotic behavior, blow-up properties and life-span of some kinds of nonlinear evolution equations arose in applied science. We hope that this project can enrich and develop the theorem of nonlinear evolution equations, and promote the development of the related applied science.

在粘弹性力学和结构力学等诸多实际领域提出了大量关于时间演化的非线性问题，这些问题在数学上往往是通过一些非线性发展方程和方程组来描述。本项目主要分析来自应用科学中的几类非线性发展方程和方程组解的整体存在和整体解的渐近行为，解的爆破性质和生命跨度。希望本课题的研究能丰富和发展非线性发展方程的理论，并对相关科学技术领域的发展起促进作用。

利用非线性发展方程描述并研究物理、工程力学和经济等领域中的关于时间变化的非线性问题，是非线性偏微分方程研究领域的一个重要研究方向。本项目主要对非线性发展方程解的爆破现象进行了研究。首先对一类退化奇异抛物方程，建立适用于该抛物方程的比较原理以及给出解的局部存在性结果；同时，通过构造合适的整体上解和爆破下解，结合比较原理，得到了解整体存在与有限时刻爆破的临界指数；并讨论了全局爆破现象和爆破解的爆破模式。其次，在一系列合理的条件下，通过定义合适的能量函数，得到了一类边界上带有分数阶阻尼的Kirchhoff型方程解的爆破性质，并给出了这种爆破现象的时间上界估计。我们的研究推广了之前的一些结果，从某种程度来说，丰富了非线性发展方程的相关理论。