散度测度表示的不确定集合的分布鲁棒优化问题

The aim of this project is to establish the theory and methodology of the distributionally robust optimization problems whose uncertainty sets are described by divergence measures based on the statistical inference for divergence measures, variational analysis as well as the works on chance constrained optimization, asymptotical analysis of stochastic generalized equations by the project group. The contents of the project include: 1) The reductions under the empirical distributions for distributionally robust optimization problems whose functions are defined by expectations or the constraints are probability constraints; 2) Statistical inference problems involved in the sets of distributions and numerical algorithms for the obtained stochastic programming problems under the empirical distributions; 3) Analysis and algorithms for distributionally robust optimization problems depending on parameters linearly and with polyhedral constraints, second-order cone constraints or semidefinite constraints; 4) Numerical algorithms for mean-variance distributionally robust optimization model with various distribution sets measured by different divergences. We hope that the study for the topics in this project will make great contributions to Robust Optimization.

本项目旨在结合本课题组近年来关于机会约束优化问题，随机广义方程的SAA估计量的渐近性分析等方面的工作，以基于散度度量的统计推断理论和变分分析作为研究工具，建立基于散度度量的分布稳健优化的理论与方法。研究包括：1) 以分布集合由散度度量定义的期望值函数为问题函数的分布稳健优化问题, 以及概率约束的分布稳健优化问题在经验分布下的简化；2）与分布集合相关的统计推断问题和经验分布下的随机优化问题的求解方法；3）线性依赖于参数向量的多面体约束，二阶锥约束与半定约束的分布稳健优化问题的分析与求解；4）各个具体散度定义的分布集合为各种类型的均值方差分布稳健优化模型的求解方法。 期望对稳健优化理论研究做出重大贡献。

大量的实际问题中，优化模型往往含有需要确定或需要估计的参数，这些参数出现在目标函数和约束函数中,所得到的最优解严重依赖于参数的估计。由于参数向量的信息不充分或刻画参数向量的数据不完整，以及参数向量的随机性，精确确定或估计这些参数通常是非常困难的。稳健优化（robust optimization）方法成为求解不受参数向量的不确定性影响的最优解的有效方法，其处理参数向量不确定性的方法是把它限制在一个集合里（被称为不确定集合），并考虑在这一不确定集合中的参数向量的最坏情况下问题的求解。本项目以基于散度度量的统计推断理论和变分分析作为研究工具，建立基于散度度量的分布稳健优化的理论与方法，取得的主要成果概述如下：. 针对某些特殊的概率约束优化问题，以及某些特殊的分布函数类，研究了以分布集合由散度度量定义的期望值函数为问题函数的分布稳健优化问题与概率约束的分布稳健优化问题在经验分布下的简化，得到分布集合相关的统计推断问题和经验分布下的随机优化问题的求解方法。. 研究了以线性依赖于参数向量的多面体约束，二阶锥约束与半定约束的分布稳健优化等问题的分析理论和问题的求解。. 研究了基于散度度量的投资组合优化的分布稳健优化问题。分别考虑各个具体散度定义的分布为各种类型的均值方差分布稳健优化问题、各种类型的VaR投资组合以及分布为各种类型的CVaR投资组合分布稳健优化问题的求解。. 在理论结果的基础上得到几个相关的应用研究。研究了三类具体的两阶段随机优化问题的逐步对冲算法、带有噪声的压缩感知信号重建模型、随机控制等问题，得到了有意义的结果。