概周期扰动下的Hamilton系统的不变环面的存在性

KAM theory is a powerful method about the persistence of quasi-periodic solutions and almost periodic solutions under small perturbation. However,there are only few results available to obtain the existence of almost periodic solutions via KAM theory,because it is difficult to treat small divisor problem of infinite frequencies.This project mainly deals with the existence of invariant tori under almost periodic perturbation.This project is composed of three parts：firstly,we will discuss the existence of invariant tori of the integrable Hamiltonian system under small almost periodic perturbation without Kolmogorov's nondegeneracy condition and its application;furthermore,we will discuss the existence of low dimensional invariant tori (countable dimensional and finite dimensional invariant torus) of the integrable Hamiltonian system under small almost periodic perturbation and its application;finally,we obtain the existence of invariant tori of infinite dimension Hamiltonian system under small almost periodic perturbation and its application.

在小扰动下关于拟周期解和概周期解的存在性问题，KAM理论是非常有效的方法。然而，KAM理论中关于概周期解的存在性问题的结果较少，因为处理无穷多个频率的小分母问题非常困难。本项目计划研究概周期扰动下的Hamilton系统的不变环面的存在性，具体包含如下三个问题：首先考虑概周期扰动下的近可积Hamilton系统在不满足Kolmogorov非退化条件时的不变环面的存在性及其应用；其次考虑概周期扰动下的近可积Hamilton系统的低维不变环面(可数维和有限维不变环面)的存在性及其应用；最后考虑概周期扰动下的无穷维Hamilton的不变环面的存在性及其应用。

本项目主要研究概周期扰动下的Hamilton系统的不变环面的存在性。在本项目立项之前，我们已经利用KAM迭代技巧建立了近可积Hamilton系统在满足Kolmogorov非退化条件时的不变环面存在性，并且利用相应的不变环面定理证明了超二次势能的二阶概周期常微分方程的概周期解的存在性和所有解的有界性。在项目执行过程中，我们的研究内容主要分为三部分。其一是继续研究概周期扰动下的近可积Hamilton系统在不满足Kolmogorov非退化条件时的不变环面的存在性及其应用。其二是研究概周期扰动下的近可积Hamilton系统的低维不变环面(可数维和有限维不变环面)的存在性及其应用。其三是研究概周期扰动下的无穷维Hamilton的不变环面的存在性及其应用。我们发现KAM迭代依然奏效，类似于拟周期函数的定义，及其拟周期函数的范数的定义，给出了概周期函数的定义，以及概周期函数的范数的定义，来控制逼近解的范数，进而保证KAM迭代的收敛，在新的强共振条件的假设之下，能够解概周期同调方程，获得概周期同调方程的一个可控的解，进而去寻找变换，构造KAM迭代，得到不变环面的保持性。