Hamilton系统的概周期解和闸轨道问题研究

Hamiltonian system is a very important system in the fields of mathematical and physical sciences, life sciences and social sciences. Studies on the existence of various solutions for this system are related to the extension and development of dynamical behavior and bifurcation theory for dynamical systems. Hence, it has attracted mathematicians and physicists for a long time. In this project, we will use the critical point theory to study those problems on almost periodic solutions, minimal periodic brake orbits and subharmonic brake orbits of Hamiltonian systems. To be precise, we will construct some suitable Banach spaces and decompose them, analyze those properties of spectrum and eigenspace for differential operators corresponding to Hamiltonian systems, develop and apply those tools in critical point theory such as Minimax principle, Morse theory,Category theory and Index theory to construct some new existence, uniqueness, multiplicity and non-existence theorems on critical points, and then use these theorems to study those problems on existence, uniqueness, multiplicity and non-existence of almost periodic solutions, minimal periodic brake orbits and subharmonic brake orbits for Hamiltonian systems. . The study of this project can contribute to not only the development of the theory on Hamiltonian systems, but also the complement and perfection of critical point theory. It has the higher academic value.

Hamilton系统是数理科学、生命科学以及社会科学领域中一类非常重要的系统, 因其各种解的存在性问题研究关系到动力系统的动力学行为和分支理论的推广和发展，所以长期以来备受数学家和物理学家的关注。本项目拟使用临界点理论来研究Hamilton系统的概周期解、最小周期闸轨道和次调和闸轨道问题。具体地，构建合适的Banach空间并进行空间分解，分析Hamilton系统所对应的微分算子的谱和特征空间的性质，发展和应用临界点理论中的Minimax原理、 Morse理论、畴数理论和指标理论等工具来建立一些新的临界点的存在性、唯一性、多重性以及不存在性定理，并利用这些定理来研究Hamilton系统的概周期解、最小周期闸轨道和次调和闸轨道的存在性、唯一性、多重性以及不存在性问题。 . 本项目的研究不仅有助于Hamilton系统理论的发展，而且还将有助于临界点理论的补充和完善，具有较高的学术价值。

Hamilton系统是数理科学、生命科学和社会科学领域中一类非常重要的系统，对其解的存在性与多重性问题的研究关系到动力系统理论的发展。本项目旨在发展和应用临界点理论中的Minimax原理、Morse理论、畴数理论和指标理论等工具来建立一些新的临界点定理，并利用这些定理来研究Hamilton系统的概周期解、最小周期闸轨道和次调和闸轨道的存在性、唯一性、多重性和不存在性问题。项目在执行过程中，主要是在二阶Hamilton系统的概周期解方面取得了一些研究成果，而在临界点定理的建立、一阶Hamilton系统的概周期解以及Hamilton系统的最小周期闸轨道和次调和闸轨道方面，项目组并未取得相应成果。此外，结合研究概周期解问题所使用的一些研究技巧，项目组在非线性差分系统和非线性椭圆偏微分系统方面也取得了一些研究成果。具体地，我们获得了如下七个方面的研究成果：① 在次二次增长条件和一些其他合理假设下，获得了一类带强迫项的二阶Hamilton系统的弱拟周期解（一类特殊的概周期解）的存在性与多重性准则；②在超二次增长条件和一些其他合理假设下，获得了一类二阶Hamilton系统的弱拟周期解的存在性与多重性准则；③ 通过将Hamilton系统转化为偏微分系统的思想，获得了一类二阶带阻尼的Hamilton系统弱拟周期解的存在性准则；④获得了一类非线性p-Laplace差分系统周期解的存在性准则及其解的范围估计；⑤ 获得了一类带经典或有界同胚映射的非线性差分系统周期解的多重性准则；⑥在超p-次增长条件和一些其他合理假设下，获得了一类带经典同胚映射和扰动项的非线性差分系统同宿轨道的存在性准则；⑦在次线性Orlicz-Sobolev增长条件和一些其他合理假设下，获得了一类非线性椭圆偏微分系统非平凡解的存在性与多重性准则。.本项目所取得的研究成果对于Hamilton系统理论、非线性差分系统和非线性椭圆偏微分方程(系统)理论的发展和完善有一定的促进作用。